projection cylindrique centrale

Imaginez une Terre transparente entourée d'un cylindre qui la touche le long de l'équateur. Depuis son centre, un rayon lumineux traverse chaque point du globe et marque le cylindre. Quand on déroule celui-ci, les méridiens deviennent des droites verticales et les parallèles des droites horizontales.

Près de l'équateur, les marques restent relativement serrées. Plus la latitude augmente, plus le rayon rencontre le cylindre loin du plan équatorial. Les régions proches des pôles paraissent donc très étirées.

La projection cylindrique centrale applique une projection de centre égal au centre de la sphère sur un cylindre qui l'enveloppe. Dans le modèle tangent usuel, le cylindre touche la sphère le long de l'équateur. Le cylindre est ensuite déroulé en un plan. Cette construction explique le qualificatif de projection centrale. Le terme gnomonique est, lui, réservé classiquement à la projection centrale sur un plan.

Notons R le rayon de la sphère, φ la latitude et λ la longitude exprimée en radians depuis un méridien choisi comme origine. Pour −90° < φ < 90° et pour λ choisie sur une branche de longitude délimitée par un méridien de coupure, l'abscisse x et l'ordonnée y de la carte déroulée vérifient $x=R\lambda ,y=R\tan (\phi )x=R\backslash lambda,\backslash quad\; y=R\backslash tan(\backslash varphi)$. Les méridiens sont donc des droites verticales, tandis que les parallèles sont des droites horizontales. Les deux familles se coupent à angle droit.

La tangente croît rapidement quand la latitude se rapproche de 90° : l'écart entre les parallèles augmente et les hautes latitudes sont fortement dilatées. Les pôles n'ont pas d'image finie. La projection de Wetch, employée par J. Wetch au 19e siècle, constitue un exemple historique de cette construction.

Considérons une sphère de rayon R et un même méridien. On veut placer sur le cylindre déroulé les parallèles de latitudes 0°, 30°, 45° et 60°. La hauteur est mesurée depuis l'équateur et exprimée en multiples de R.

1. Appliquer la relation $y=R\tan (\phi )y=R\backslash tan(\backslash varphi)$ à chaque latitude.
2. À 0°, obtenir y = 0.
3. À 30°, obtenir $y=R\mathrm{/}\sqrt{3}\approx \mathrm{0,577}Ry=R/\backslash sqrt\{3\}\backslash approx0\{,\}577R$.
4. À 45°, obtenir y = R.
5. À 60°, obtenir $y=\sqrt{3}R\approx \mathrm{1,732}Ry=\backslash sqrt\{3\}R\backslash approx1\{,\}732R$.

L'intervalle vertical de 0° à 30° vaut environ 0,577R. Celui de 30° à 60° vaut environ 1,155R, soit deux fois le premier à l'arrondi près. Ce contrôle montre que deux écarts identiques de 30° en latitude ne donnent pas des hauteurs identiques sur la carte. La figure matérialise cette croissance sans attribuer une taille réelle aux régions représentées.

Pour reconnaître cette projection sur une carte, observez d'abord le quadrillage. Les méridiens et les parallèles doivent être rectilignes et orthogonaux, puis les parallèles doivent s'écarter de plus en plus en allant vers les hautes latitudes.

Pour expliquer une projection centrale en géométrie, le cylindre rend visible le trajet des rayons issus du centre. Une projection centrale sur un plan est préférable si l'étude porte précisément sur un support plan et non sur une carte cylindrique déroulée.

Pour représenter des zones proches des pôles, il faut choisir une autre projection cartographique : ici, l'écartement sans borne des parallèles empêche de placer les pôles à une hauteur finie.

Projection centrale sur un plan. Le centre de projection peut être le même, mais le support change. Si les rayons rencontrent un plan, il ne s'agit pas de la projection cylindrique centrale, même si le mot « gnomonique » est employé.

Projection de Mercator. Les deux cartes montrent des méridiens et parallèles rectilignes et orthogonaux, avec un étirement vers les pôles. Le critère décisif est la loi des hauteurs : la projection cylindrique centrale suit $y=R\tan (\phi )y=R\backslash tan(\backslash varphi)$, conséquence des rayons issus du centre. À 45°, elle place donc le parallèle à la hauteur R.

Aux pôles. Lorsque la latitude φ tend vers 90° ou −90°, la valeur de tan(φ) n'est pas bornée. Le symptôme est un bord polaire impossible à tracer à hauteur finie. Il faut limiter la carte à des latitudes strictement comprises entre −90° et 90°, ou employer une autre projection pour montrer les pôles.

Lecture des surfaces. Le quadrillage orthogonal peut donner une impression de régularité, mais l'espacement vertical croît avec la latitude. Une région située à 60° est beaucoup plus étirée verticalement qu'une région comparable près de l'équateur. Il ne faut donc pas déduire directement les aires réelles des aires dessinées.

Confusion entre latitude et hauteur. Un écart de 30° ne produit pas partout le même déplacement sur la carte. Dans l'exemple, 0° à 30° donne environ 0,577R, alors que 30° à 60° donne environ 1,155R. Il faut calculer les hauteurs avec la tangente plutôt que les répartir uniformément.

La fiche projection replace cette construction dans la famille générale des transformations géométriques.

Les entrées latitude - géographie - et longitude - géographie - précisent les deux coordonnées qui deviennent les lignes du quadrillage.

La projection de Mercator offre une comparaison utile entre deux quadrillages cylindriques qui n'obéissent pas à la même construction.