loxodromie

Imaginez un bateau dont la route garde toujours la même inclinaison par rapport aux lignes nord-sud d'une carte. Sur un globe, cette route peut s'enrouler autour de la Terre au lieu de suivre un grand cercle : c'est une loxodromie.

Sur une carte de Mercator, la même route devient une droite. Le navigateur peut donc conserver un cap constant et tracer facilement son parcours. Cette simplicité ne garantit toutefois pas la distance la plus courte.

Une loxodromie est une courbe d'une surface de révolution qui rencontre les méridiens sous un angle constant. Si l'on note alpha cet angle, le critère s'écrit $\alpha =\text{constante}\backslash alpha=\backslash text\{constante\}$. Les parallèles étant perpendiculaires aux méridiens aux points réguliers, l'angle avec eux reste également constant. Sur la sphère terrestre, un méridien est l'intersection de la sphère avec un plan contenant l'axe des pôles. Un parallèle provient d'un plan perpendiculaire à cet axe. Le nom anglais de la courbe est rhumb line.

La projection de Mercator est cylindrique et conforme : elle conserve localement les angles. Elle transforme donc une loxodromie en droite. Réciproquement, une droite tracée sur une carte de Mercator représente une route de cap constant, sous réserve d'interpréter ce cap par rapport aux méridiens. Cette propriété explique l'usage historique des loxodromies en navigation maritime.

Pedro Nunes étudia les loxodromies de la sphère en 1535, puis Simon Stevin en 1608. Willebrord Snellius introduisit le terme « loxodromie » en 1624. Une route loxodromique n'est généralement pas le plus court chemin entre deux points de la sphère. Ce rôle revient à l'arc de grand cercle de longueur minimale ; entre deux points antipodaux, cet arc n'est pas unique. L'écart est faible sur une courte distance. À latitude moyenne, il peut aussi rester faible dans certaines configurations, mais son ampleur dépend de la longueur du trajet et de ses points de départ et d'arrivée ; il peut devenir important sur un trajet transocéanique ou à haute latitude.

Un navigateur veut suivre une route orientée vers le nord-est sur une carte de Mercator. Données :
la carte porte des méridiens verticaux et des parallèles horizontaux ;
la route part du point A ;
son cap forme un angle de 45° avec chaque méridien.

1. Depuis A, il trace un segment montant vers la droite, avec le même déplacement horizontal que vertical. Le segment forme ainsi 45° avec la verticale.

2. La projection de Mercator conserve les angles locaux. Le segment coupe donc chaque méridien rencontré sous l'angle constant de 45° : la route représentée est une loxodromie.

3. Le contrôle se refait avec n'importe quelle maille carrée de la grille : la route avance d'une même longueur vers l'est et vers le nord. Sa pente reste donc constante, tout comme le cap de 45°. Sur le globe, le tracé correspondant est courbe et n'est pas, en général, la route la plus courte.

Sur une carte marine de Mercator, une route loxodromique se trace comme une droite. Le navigateur lit son angle avec les méridiens et maintient ce cap constant au cours du trajet.

Pour une courte distance ou un parcours aux latitudes moyennes, cette route offre un pilotage simple. L'écart de distance avec le plus court chemin peut être négligeable, mais il dépend aussi de la longueur du trajet et de ses points de départ et d'arrivée : la seule latitude ne suffit pas à le conclure.

Pour une traversée transocéanique ou une route à haute latitude, la distance supplémentaire devient un critère important. On préfère alors comparer le tracé avec l'orthodromie, qui suit un grand cercle.

Loxodromie et orthodromie. La première garde un angle constant avec les méridiens ; la seconde suit un arc de grand cercle de longueur minimale entre les deux points. Pour des points antipodaux, plusieurs de ces arcs sont minimaux. Sur une longue traversée, deux tracés reliant les mêmes points peuvent donc avoir des longueurs différentes.

Loxodromie et droite cartographique. La courbe vit sur la sphère ou, plus généralement, sur une surface de révolution. Son aspect rectiligne est une propriété de la projection de Mercator, pas une propriété de toutes les cartes. Une droite observée sous une autre projection ne suffit donc pas à conclure.

Distance. Un cap constant simplifie le tracé, mais ne minimise pas en général la longueur parcourue. Le surcroît peut être négligeable sur une courte distance, mais il dépend de la géométrie précise du trajet, de sa longueur et des latitudes parcourues ; il peut devenir significatif sur les routes transocéaniques ou aux hautes latitudes. Il faut alors comparer les longueurs avant de choisir la route.

Projection. Une loxodromie est droite sur la carte de Mercator parce que cette projection est conforme. Si le tracé paraît courbe sur une autre carte, ce symptôme ne signifie pas que le cap varie. Il faut contrôler l'angle avec les méridiens dans la projection employée.

Pôles. Au pôle, tous les méridiens se rejoignent et la direction du parallèle n'y est plus définie comme ailleurs. Le critère d'angle constant doit donc se lire aux points réguliers de la surface, et non au point singulier du repérage.

Cap de référence. La définition géométrique porte sur l'angle avec les méridiens. Une indication instrumentale ne suffit pas à elle seule : il faut vérifier que le cap suivi conserve bien cet angle sur toute la route.

orthodromie — Pour comparer le cap constant avec le plus court trajet porté par un grand cercle.

projection de Mercator — Pour relier la conservation locale des angles au tracé rectiligne des loxodromies.

Géodésique — Pour approfondir la notion de plus court chemin sur une surface.