projection conforme

Imaginez deux routes qui se coupent à angle droit sur le globe. Sur une carte issue d’une projection conforme, leurs tracés se coupent encore à angle droit. Le petit carrefour garde donc sa forme, même si sa taille sur la carte change.

Cette fidélité est locale : elle concerne ce qui se passe autour de chaque point. Une région entière peut paraître beaucoup trop grande. La carte préserve alors les angles, pas les surfaces ni toutes les distances.

Une projection cartographique est dite conforme lorsqu’elle préserve, en chaque point où elle est régulière, l’angle formé par deux directions tangentes. Elle agit du globe vers le plan de la carte. La propriété est locale : elle compare des directions qui se rencontrent en un même point, et non la forme globale d’un continent.

Notons p le point considéré, Df_p l’action locale de la projection sur les directions, k(p) un facteur d’échelle strictement positif et Q_p une rotation dépendant éventuellement de p, elle-même éventuellement composée avec une symétrie si l’orientation n’est pas imposée. La condition s’écrit : Ainsi, toutes les directions issues de p sont multipliées par le même facteur. Leurs angles sont conservés, mais k(p) peut varier d’un lieu à l’autre.

La projection cylindrique de Mercator et la projection conique conforme de Lambert réalisent cette propriété dans leur domaine régulier. Elles ne conservent pas simultanément les surfaces et les distances sur une grande étendue. La conformité ne garantit pas les distances globalement : selon la projection, certaines distances peuvent toutefois être exactes à une position donnée ou le long de lignes particulières.

Considérons la projection de Mercator appliquée à une sphère, avec une échelle normalisée à l’équateur. Les données sont les suivantes :
• la latitude, notée φ, vaut 60° ;
• deux directions tangentes se coupent à 90° ;
• le facteur d’échelle local, noté k, vaut 1 à l’équateur.

1. Pour cette projection, le facteur local dépend de la latitude : $k(\phi )=\frac{1}{\cos \phi }k(\backslash varphi)=\backslash frac\{1\}\{\backslash cos\; \backslash varphi\}$.

2. À 60°, le cosinus vaut exactement 1/2. On obtient donc $k({60}^{\circ })=2k(60^\backslash circ)=2$. Chaque très petite longueur est représentée deux fois plus grande qu’à l’équateur, quelle que soit sa direction.

3. Les deux directions subissent le même agrandissement. Leur angle reste donc égal à 90°. En revanche, une très petite aire est multipliée par le carré du facteur : $k^2=2^2=4k^2=2^2=4$.

Le contrôle est immédiat : les deux côtés d’un minuscule carré sont doublés, donc son aire est quadruplée, tandis que ses quatre angles droits subsistent. La figure matérialise ce contraste local.

En navigation, une carte conforme aide à reporter une direction mesurée localement : l’angle lu sur la carte correspond à l’angle sur le terrain. Si l’objectif est plutôt d’estimer une longue distance, il faut employer un calcul géodésique adapté, car l’échelle de la carte varie avec la position.

Pour cartographier une région étendue d’est en ouest, la projection conique conforme de Lambert permet de privilégier les angles et les formes locales. Si la comparaison des superficies est décisive, une projection équivalente est préférable : son critère est la conservation des aires, non celle des angles.

Avant toute lecture, le bon geste consiste à identifier la propriété annoncée par la carte. Le mot « conforme » autorise une lecture des angles locaux ; il ne garantit ni une échelle uniforme, ni des superficies fidèles.

Projection équivalente. Elle conserve les aires, alors qu’une projection conforme conserve les angles locaux. Une petite forme qui double dans les deux directions tranche le cas : ses angles restent inchangés, mais son aire est multipliée par quatre.

Projection équidistante. Elle conserve certaines distances précisément désignées, par exemple depuis un point ou le long de lignes choisies. Une carte conforme peut donner le bon angle à un carrefour tout en faussant la distance entre deux villes éloignées.

Une propriété locale, pas une ressemblance globale. Les angles sont comparés au point où deux courbes se croisent. Sur une grande étendue, la variation de l’échelle peut allonger ou grossir fortement les formes. Il faut alors consulter l’échelle locale plutôt que juger la carte à l’œil.

Mercator amplifie les hautes latitudes. Dans le modèle sphérique normalisé à l’équateur, le facteur local vaut 2 à la latitude 60° et le facteur d’aire vaut 4. À l’approche d’un pôle, ce facteur croît sans borne ; le pôle ne possède donc pas d’image finie sur la carte de Mercator.

Conforme ne signifie pas sans déformation. La conservation des angles impose le même agrandissement dans toutes les directions autour d’un point. Elle n’impose pas que cet agrandissement vaille 1, ni qu’il soit identique ailleurs. Pour comparer des surfaces, il faut choisir une projection équivalente.

Les singularités sont exclues. L’expression « en tout point » se comprend sur le domaine où la projection est définie et régulière. À un point absent de la carte ou lorsque le facteur local s’annule ou devient infini, le critère angulaire ne s’applique pas.

La projection de Mercator détaille l’exemple cylindrique et permet d’approfondir le lien entre navigation et déformation aux hautes latitudes.

La fiche géodésie replace les projections dans l’étude de la forme de la Terre et des mesures effectuées à sa surface.

L’article Projection stéréographique présente une autre construction conforme et ouvre la comparaison entre plusieurs façons de projeter la sphère.