Sphère de Riemann

Imaginez le plan complexe enroulé autour d'une sphère. Chaque point du plan rejoint un point de la sphère par une droite issue du pôle nord. Plus un nombre complexe est loin de l'origine, plus son image se rapproche de ce pôle.

Le pôle nord, jamais atteint par un point fini, représente un unique point à l'infini. Ainsi complété, le plan n'a plus de direction ouverte vers laquelle s'échapper : il devient une surface compacte.

La sphère de Riemann est le plan complexe auquel on adjoint un seul élément, le point à l'infini. On la note $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\mathrm{\infty }\}\backslash widehat\{\backslash mathbb\; C\}=\backslash mathbb\; C\backslash cup\backslash \{\backslash infty\backslash \}$. Ce point unique compactifie toutes les directions du plan. Topologiquement, l'ensemble obtenu est homéomorphe à la sphère réelle S².

Sur la sphère unité, un nombre complexe z = x + iy correspond, par projection stéréographique depuis le pôle nord, au point de coordonnées réelles :Le point à l'infini correspond au pôle nord. Cette identification donne à la sphère une structure de variété complexe compacte de dimension complexe 1.

Une transformation de Möbius, aussi appelée homographie, s'écrit $T(z)=\frac{az+b}{cz+d}T(z)=\backslash frac\{az+b\}\{cz+d\}$, avec des coefficients complexes satisfaisant ad − bc ≠ 0. En prolongeant sa valeur au point où le dénominateur s'annule et à l'infini, elle devient un automorphisme analytique de toute la sphère. Réciproquement, tous ses automorphismes analytiques sont de cette forme.

Dans un schéma de projection stéréographique, cherchez quatre marqueurs : une sphère, son pôle nord, le plan complexe passant par l'équateur et une droite reliant le pôle à un point du plan. L'intersection restante de cette droite avec la sphère représente le même nombre complexe.

L'origine du plan correspond au pôle sud, le cercle des nombres de module 1 correspond à l'équateur et les grands modules se placent près du pôle nord. Le support encode donc à la fois la position complexe et l'approche du point à l'infini.

Pour situer un nombre complexe sur la sphère unité, on lit sa partie réelle x, sa partie imaginaire y et son module. La convention choisit le pôle nord comme centre de projection et le plan équatorial comme copie du plan complexe.

1. Placez le point z = x + iy dans le plan.
2. Tracez la droite qui joint ce point au pôle nord.
3. Retenez l'autre intersection avec la sphère.
4. Vérifiez la hauteur : elle est négative si |z| < 1, nulle si |z| = 1 et positive si |z| > 1.

Un dessin peut faire croire que le point à l'infini dépend de la direction suivie dans le plan. Le bon réflexe consiste à regarder la distance à l'origine : quelle que soit la direction, une distance qui croît sans borne conduit au même pôle nord.

Plaçons le nombre complexe z = 1 + i sur la sphère unité. Sa partie réelle vaut x = 1 et sa partie imaginaire vaut y = 1. Le carré de son module vaut |z|² = 1² + 1² = 2.

Données :
x = 1 ;
y = 1 ;
|z|² = 2 ;
rayon de la sphère = 1.

1. Le dénominateur commun vaut |z|² + 1 = 3.
2. La première coordonnée vaut 2x/3 = 2/3.
3. La deuxième coordonnée vaut 2y/3 = 2/3.
4. La hauteur vaut (|z|² − 1)/3 = 1/3.

L'image est donc le point P = (2/3, 2/3, 1/3). Le contrôle consiste à calculer la somme des carrés : 4/9 + 4/9 + 1/9 = 1. Le point appartient bien à la sphère unité. Sa hauteur positive concorde aussi avec |z| = √2 > 1.

Pour étudier une fonction rationnelle près d'un zéro de son dénominateur, on lui attribue la valeur ∞ lorsque ce zéro est un pôle. La sphère est alors préférable au seul plan complexe, où cette valeur manquerait.

Pour suivre une homographie, on calcule aussi, lorsque c ≠ 0, l'image du point −d/c qui annule le dénominateur, ainsi que celle de ∞. Lorsque c = 0, le dénominateur n'a pas de zéro fini et l'image de ∞ se traite séparément. Cette extension montre la transformation comme une application définie sur toute la sphère, plutôt que comme une formule interrompue.

Pour raisonner sur le comportement global d'une fonction méromorphe, on considère ses valeurs dans la sphère de Riemann. Le plan complexe reste plus direct pour les calculs locaux qui ne rencontrent ni pôle ni infini.

La sphère de Riemann n'est pas le plan complexe ordinaire. Le test décisif est la présence du point ∞ : la suite des entiers positifs n'a pas de limite dans le plan, mais elle converge vers ∞ sur la sphère.

Elle ne se réduit pas non plus à la sphère réelle S² considérée seulement comme surface topologique. Un homéomorphisme décrit leur même forme topologique ; la sphère de Riemann porte en plus une structure complexe qui rend analytiques les transformations de Möbius.

Enfin, le point à l'infini n'est pas un cercle de directions à l'infini. Deux trajets qui s'éloignent selon des angles différents approchent le même point sur la sphère, et non deux points distincts.

Le symbole ∞ désigne ici un point ajouté, pas un nombre complexe ordinaire. Une écriture qui lui applique sans justification les règles algébriques usuelles peut produire des contradictions ; il faut employer la continuité sur la sphère ou une limite locale.

Dans une homographie $T(z)=\frac{az+b}{cz+d}T(z)=\backslash frac\{az+b\}\{cz+d\}$, le cas c ≠ 0 envoie le point −d/c sur ∞ et ∞ sur a/c. Si c = 0, ∞ reste fixe. Oublier cette distinction laisse deux valeurs non définies à tort.

La projection stéréographique dépend d'une convention de pôle et de placement du plan. Changer de convention modifie les coordonnées affichées, mais pas la surface obtenue. Il faut donc lire le repère du schéma avant de comparer deux formules.

Dire qu'une fonction prend la valeur ∞ demande de vérifier qu'il s'agit d'un pôle. Une singularité essentielle ne devient pas un simple pôle par l'ajout du point à l'infini ; son comportement local reste d'une autre nature.

La fiche Stéréographique (projection) détaille la construction géométrique qui relie le plan complexe à la sphère.

Le glossaire Homographie approfondit les transformations qui constituent exactement les automorphismes analytiques de la sphère de Riemann.

La notion de fonction méromorphe montre comment traiter les pôles comme des valeurs à l'infini.

La fiche Surface de Riemann replace cet exemple compact dans la famille des variétés complexes de dimension 1.