Homographie

Imaginez le plan complexe complété par un point à l’infini, puis une grille tracée dessus. Une homographie déforme cette grille sans créer d’angle aigu là où deux courbes se coupaient à angle droit. Une droite peut devenir un cercle, et inversement, car le point à l’infini appartient à ce décor agrandi.

La transformation déplace chaque nombre complexe selon une même règle fractionnaire. Elle reste réversible tant que ses quatre coefficients ne rendent pas la règle dégénérée.

Une homographie, aussi appelée transformation de Möbius, est une application de la sphère de Riemann dans elle-même. Cette sphère représente le plan complexe auquel on ajoute un point noté ∞. Pour un nombre complexe z, quatre coefficients complexes a, b, c et d définissent l’application h par :

La condition ad − bc ≠ 0 garantit que l’application n’est pas constante et qu’elle possède une homographie inverse. Si c ≠ 0, le point −d/c est envoyé sur ∞ et ∞ est envoyé sur a/c. Si c = 0, aucun point complexe fini n’est envoyé sur ∞, tandis que ∞ reste fixe. La composition de deux homographies et l’inverse d’une homographie sont encore des homographies : elles forment donc un groupe. Elles envoient tout cercle généralisé, c’est-à-dire un cercle ou une droite complétée par ∞, sur un autre cercle généralisé. Elles préservent aussi les angles orientés localement sur la sphère de Riemann.

Considérons l’homographie h dont les coefficients sont a = 1, b = −1, c = 1 et d = 1. Sa règle est $h(z)=\frac{z-1}{z+1}h(z)=\backslash frac\{z-1\}\{z+1\}$. Nous allons suivre les points 1, 0, −1 et ∞.

1. Le déterminant vaut ad − bc = 1 × 1 − (−1) × 1 = 2. Il est non nul : la règle définit bien une homographie.

2. En remplaçant z par 1, le numérateur s’annule : h(1) = 0.

3. En remplaçant z par 0, on obtient h(0) = −1. Au point z = −1, le dénominateur s’annule ; sur la sphère de Riemann, h(−1) = ∞.

4. À l’infini, le quotient des coefficients dominants vaut 1 : h(∞) = 1. Le contrôle consiste à appliquer l’homographie inverse $h^{-1}(w)=\frac{1+w}{1-w}h^\{-1\}(w)=\backslash frac\{1+w\}\{1-w\}$ : elle renvoie respectivement 0, −1 et 1 sur 1, 0 et ∞. La figure rend aussi visible que l’axe imaginaire, qui contient 0 et ∞, devient le cercle unité, qui contient −1 et 1.

En théorie des fonctions complexes, une homographie sert à déplacer des points remarquables vers 0, 1 ou ∞. Elle est préférable à une transformation arbitraire lorsque l’on veut conserver à la fois les angles et les cercles généralisés.

En géométrie hyperbolique, certaines homographies décrivent les symétries du modèle considéré. Le critère décisif est alors la préservation du domaine qui représente le plan hyperbolique ; une homographie générale qui envoie un point hors de ce domaine ne convient pas.

En physique des cordes, les homographies interviennent parmi les transformations conformes de la sphère de Riemann. On les retient lorsque la transformation doit être bijective sur toute la sphère ; une application conforme seulement locale ne fournit pas la même garantie globale.

Fonction homographique réelle. Au lycée, ce nom désigne souvent une fonction de variable réelle donnée par le même quotient, sur les réels où le dénominateur ne s’annule pas. L’homographie complexe agit, elle, sur la sphère de Riemann : dans l’exemple, −1 n’est pas simplement exclu, il est envoyé sur ∞.

Transformation conforme quelconque. Une homographie préserve les angles et elle est bijective sur toute la sphère de Riemann. Une application qui préserve les angles seulement sur une région, sans être une bijection globale de la sphère, peut être conforme sans être une homographie.

Déterminant nul. Si ad − bc = 0, le quotient prend une valeur constante partout où il est défini. Si c ≠ 0, le numérateur et le dénominateur s’annulent tous deux en −d/c, ce qui donne une indétermination ; si c = 0 et d ≠ 0, le dénominateur ne s’annule pas ; enfin, si c = d = 0, la formule n’est définie nulle part. La règle n’est alors pas une homographie ; il faut revenir aux coefficients et écarter ce cas avant tout calcul.

Dénominateur nul. Écrire « non défini » fait perdre l’action sur la sphère. Quand c ≠ 0, le point −d/c est précisément envoyé sur ∞ ; réciproquement, ∞ est envoyé sur a/c.

Droite transformée en cercle. Cela ne contredit pas la préservation des cercles généralisés. Sur la sphère de Riemann, une droite est un cercle généralisé passant par ∞. Son image est une droite si elle contient l’antécédent de ∞, et un cercle ordinaire sinon.

Angles aux points singuliers de la formule affine. Le pôle n’est pas une déchirure de la transformation sur la sphère. Pour parler correctement des angles près de ce point ou de ∞, il faut employer une carte locale de la sphère de Riemann plutôt que les seules coordonnées du plan.

Le birapport fournit un invariant fondamental des homographies et aide à déterminer l’unique transformation envoyant trois points distincts sur trois points distincts.

L’article Des nombres pas si complexes consolide la lecture géométrique des nombres sur lesquels agit une transformation de Möbius.

L’article Les géodésiques de Mirzakhani ouvre vers la géométrie hyperbolique, l’un des cadres où le groupe des homographies devient central.