Conformément équivalents (domaines)

Imaginez une feuille souple couverte d'un quadrillage, sans la déchirer ni superposer deux points. Une transformation peut changer l'échelle des petits carreaux et leur forme, tout en conservant l'angle entre deux courbes qui se croisent. En analyse complexe, deux domaines sont conformément équivalents lorsqu'une transformation de ce type, suffisamment régulière, relie chaque point du premier à un point différent du second et permet de revenir en arrière. Le théorème de Riemann dit alors qu'un domaine simplement connexe, s'il n'est pas tout le plan, peut être représenté sur le disque unité.

Un domaine est un ouvert connexe du plan complexe, c'est-à-dire une région sans bord inclus et formée d'un seul morceau. Deux domaines sont conformément équivalents lorsqu'il existe entre eux un biholomorphisme. Cette application est holomorphe, donc dérivable au sens complexe, bijective, et son application réciproque est également holomorphe.

La condition exprime une correspondance très régulière entre les deux régions. Elle conserve localement les angles et la structure conforme, mais elle n'impose ni conservation des distances ni conservation des aires. Une même forme peut donc être étirée ou comprimée sans perdre la propriété étudiée.

Le grand théorème de Riemann sur les représentations conformes fournit un cas central : tout domaine simplement connexe du plan complexe, différent du plan tout entier, est conformément équivalent au disque unité. La simple connexité signifie notamment qu'une boucle tracée dans le domaine peut y être déformée continûment jusqu'à un point, sans en sortir.

Considérons le demi-plan supérieur, noté H, formé des nombres complexes dont la partie imaginaire est strictement positive. Il est simplement connexe et différent du plan tout entier. On utilise l'application de Cayley qui associe à un nombre z de H le nombre complexe suivant : $\phi (z)=\frac{z-i}{z+i}\backslash varphi(z)=\backslash frac\{z-i\}\{z+i\}$.

Pour le point z = 2i, le calcul se déroule ainsi :
le numérateur vaut 2i − i = i ;
le dénominateur vaut 2i + i = 3i ;
le quotient vaut $\phi (2i)=\frac{i}{3i}=\frac{1}{3}\backslash varphi(2i)=\backslash frac\{i\}\{3i\}=\backslash frac\{1\}\{3\}$.

Le point 2i du demi-plan supérieur correspond donc au point 1/3 du disque unité. Plus généralement, cette application est un biholomorphisme de H sur le disque unité : elle fournit la correspondance conforme annoncée. Le contrôle consiste à vérifier que 1/3 a un module strictement inférieur à 1, comme l'exige le disque unité.

Lorsqu'un problème d'analyse complexe porte sur un domaine simplement connexe qui n'est pas le plan tout entier, le théorème de Riemann permet de le ramener au disque unité. Le calcul peut alors être étudié dans une région de référence, tandis que la correspondance conserve les angles pertinents.

Pour reconnaître une telle équivalence, il faut chercher une application explicitement biholomorphe, et pas seulement une déformation continue ou une ressemblance de forme. Le critère observable est la présence d'une application holomorphe bijective dont le retour est lui aussi holomorphe.

Une équivalence topologique demande seulement une correspondance bijective et continue, dont la réciproque est continue. Une équivalence conforme exige en plus une application holomorphe et une réciproque holomorphe. Deux régions peuvent donc avoir la même structure topologique sans que la fiche fournisse une correspondance conforme.

Une isométrie conserve les distances, alors qu'une équivalence conforme conserve les angles et la structure conforme. Le demi-plan supérieur et le disque unité illustrent la différence : l'application de Cayley les relie conformément, sans être une conservation des distances euclidiennes.

Le plan tout entier est le cas charnière exclu par le théorème de Riemann. Il est simplement connexe, mais l'énoncé ne permet pas de le déclarer conformément équivalent au disque unité. Il faut donc vérifier séparément l'hypothèse « différent du plan tout entier » avant d'appliquer le résultat.

Un domaine non simplement connexe, comme une région percée d'un trou, ne relève pas directement de cette conclusion. Le symptôme est qu'une boucle entourant le trou ne peut pas être contractée dans la région. Il faut alors employer un résultat adapté à la topologie du domaine, au lieu d'invoquer automatiquement le disque unité.

Enfin, préserver les angles ne signifie pas préserver les longueurs ou les aires. Une lecture quantitative doit donc utiliser la transformation elle-même et non déduire une distance ou une aire du seul mot « conforme ».

Le passage du demi-plan supérieur au disque unité montre l'intérêt des domaines de référence en analyse complexe : une région géométriquement différente peut porter la même structure conforme. Pour prolonger cette idée, on peut étudier comment une fonction holomorphe se transporte par composition avec un biholomorphisme, en surveillant ce que la transformation conserve et ce qu'elle déforme.