fonction complexe

Imaginez un point repéré par le nombre complexe 1 + i. Une fonction complexe le transforme en un autre point du plan, par exemple la règle « élever au carré » l’envoie sur 2i. La fonction agit donc à la fois sur les deux coordonnées du point.

Certaines de ces transformations sont particulièrement régulières. Lorsqu’une fonction est holomorphe, son comportement près d’un point ressemble à une rotation et à un agrandissement, sauf là où sa dérivée s’annule.

Une fonction complexe est une application f définie sur un ensemble D de nombres complexes et à valeurs dans ℂ. Autrement dit, à chaque nombre z de D, elle associe un unique nombre complexe f(z). Le domaine D peut être tout ℂ ou seulement une partie de cet ensemble. Cette définition n’impose à elle seule ni continuité ni dérivabilité. Si le nombre d’entrée s’écrit z = x + iy, la valeur peut s’écrire f(z) = u(x, y) + iv(x, y), où u est la partie réelle et v la partie imaginaire. Sur un domaine ouvert, f est dite holomorphe lorsqu’elle admet en chaque point une dérivée complexe, obtenue par une limite indépendante de la direction selon laquelle l’accroissement complexe tend vers zéro. Lorsque u et v ont des dérivées partielles continues, cette condition équivaut aux équations de Cauchy-Riemann :

Une fonction holomorphe est alors infiniment dérivable et représentable localement par une série entière. Elle préserve les angles au voisinage des points où sa dérivée est non nulle ; un point où la dérivée s’annule exige donc une étude séparée.

Une fonction complexe est déterminée par un domaine D, un codomaine et une règle f qui associe à chaque entrée z = x + iy une sortie w = f(z) = u + iv. L’entrée porte ainsi deux coordonnées réelles, et la sortie une partie réelle u et une partie imaginaire v. La continuité ou l’holomorphie sont des propriétés supplémentaires, qui indiquent comment les valeurs voisines se raccordent.

Le choix de D détermine où la règle peut être appliquée ; la règle détermine ensuite conjointement u et v. Ces données suffisent à calculer l’image de chaque z du domaine. En revanche, la couleur ou l’échelle d’un tracé ne définit pas la fonction. Pour établir l’holomorphie, il faut encore contrôler la dérivabilité complexe, ou les équations de Cauchy-Riemann sous les hypothèses de régularité appropriées.

On étudie la fonction f définie sur ℂ par f(z) = z². La donnée d’entrée est z = 1 + i. En coordonnées réelles, la règle donne une partie réelle u(x, y) = x² − y² et une partie imaginaire v(x, y) = 2xy.

1. On élève l’entrée au carré : $f(1+i)=(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2if(1+i)=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$. Le point 1 + i a donc pour image 2i.

2. On calcule les dérivées partielles : u_x = 2x, u_y = −2y, v_x = 2y et v_y = 2x. Les deux équations de Cauchy-Riemann sont satisfaites en tout point.

3. La dérivée complexe vaut f′(z) = 2z. Au point 1 + i, elle vaut 2 + 2i, donc elle n’est pas nulle. La transformation préserve ainsi les angles localement autour de ce point.

Le contrôle est direct : la partie réelle du résultat vaut 1² − 1² = 0 et sa partie imaginaire vaut 2 × 1 × 1 = 2, ce qui redonne 2i.

Pour calculer une image, on vérifie d’abord que le nombre complexe appartient au domaine, puis on applique la règle. Avec f(z) = z², l’écriture algébrique convient à une valeur isolée ; l’écriture en parties réelle et imaginaire est préférable si l’on veut suivre séparément les deux coordonnées.

Pour tester l’holomorphie, les équations de Cauchy-Riemann sont efficaces lorsque les dérivées partielles de u et v sont continues. Sans cette régularité, leur seule vérification ponctuelle ne suffit pas : il faut revenir à la limite qui définit la dérivée complexe.

Pour savoir si les angles sont préservés près d’un point, on calcule la dérivée en ce point. Une dérivée non nulle donne le critère local recherché ; si elle vaut zéro, la conformité ne peut pas être conclue par ce test.

Fonction complexe et fonction holomorphe. Une fonction complexe associe des nombres complexes à des nombres complexes. Elle est holomorphe seulement si elle est dérivable au sens complexe dans un domaine ouvert. Ainsi, f(z) = z² est holomorphe, tandis que la fonction f(z) = z̄, où z̄ est le conjugué de z, est complexe mais ne l’est pas.

Dérivabilité réelle et dérivabilité complexe. Écrire f à l’aide de deux fonctions réelles u et v ne suffit pas. La dérivée complexe doit être la même quelle que soit la direction d’approche dans le plan ; c’est cette contrainte supplémentaire que traduisent les équations de Cauchy-Riemann sous des hypothèses adaptées.

Une dérivée nulle change le comportement local. La fonction f(z) = z² est holomorphe sur ℂ, mais f′(0) = 0. Au voisinage de zéro, elle ne préserve donc pas les angles comme le ferait une rotation suivie d’un agrandissement. Il faut repérer les points critiques avant de parler de conformité.

Un contrôle en un seul point ne suffit pas. Les équations de Cauchy-Riemann vérifiées ponctuellement n’établissent pas à elles seules l’holomorphie sur une région. On contrôle leur validité sur un domaine ouvert et la régularité des dérivées partielles, ou l’on utilise directement la définition de la dérivée complexe.

Le domaine fait partie de la fonction. Une même formule peut définir des fonctions différentes si les domaines diffèrent. Avant toute dérivation ou série entière, il faut préciser l’ensemble D et vérifier que le point étudié possède un voisinage contenu dans ce domaine.

La fiche fonction holomorphe approfondit la dérivabilité complexe et les propriétés régulières qui en découlent.

La fiche équations de Cauchy-Riemann détaille le critère reliant les parties réelle et imaginaire.

L’article Aux origines de l’analyse complexe replace ce domaine mathématique dans son développement historique.