AnalyseNotion · Glossaire
Conjugué harmonique
La fonction conjuguée harmonique d'une fonction harmonique u dans un domaine du plan est la fonction v telle que u + iv est une fonction holomorphe (analytique complexe). Les fonctions u et v vérifient les équations de Cauchy-Riemann. La conjuguée harmonique existe toujours localement dans un domaine simplement connexe, et globalement sous certaines conditions topologiques. Ce concept est fondamental dans la théorie des fonctions d'une variable complexe et en électrostatique bidimensionnelle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une fonction harmonique et sa conjuguée aux composantes d'une fonction holomorphe.
- Construire une conjuguée par les équations de Cauchy-Riemann sur un exemple recalculé.
- Distinguer existence locale, existence globale et unicité à une constante près.
En clair
Imaginez deux cartes tracées sur le même plan. Sur la première, la valeur de u reste constante le long de certaines courbes. Sur la seconde, aux points réguliers où les gradients de u et de v ne s'annulent pas, les courbes de niveau de v les croisent à angle droit. Lorsque u est harmonique, v peut jouer ce rôle de partenaire : ensemble, elles forment les deux composantes d'une fonction complexe holomorphe.
La fonction v est appelée conjuguée harmonique de u. Elle est déterminée à une constante près sur chaque composante connexe où elle existe.
Définition
Soit D un domaine, c'est-à-dire un ouvert connexe du plan, et soit u une fonction réelle de classe C2 sur D. La fonction u est harmonique lorsque son laplacien est nul. Une fonction réelle v sur D est une conjuguée harmonique de u lorsque la fonction complexe f, définie par f = u + iv, est holomorphe sur D. La lettre i désigne le nombre complexe dont le carré vaut −1.
En notant x et y les coordonnées du plan, cette condition s'écrit avec les dérivées partielles :
Ces égalités sont les équations de Cauchy-Riemann. Elles signifient aussi que le gradient de v s'obtient en tournant celui de u d'un quart de tour. En particulier, les deux gradients sont orthogonaux aux points où ils ne sont pas nuls.
Toute fonction harmonique admet une conjuguée dans un voisinage assez petit de chacun de ses points. Une conjuguée globale existe sur tout domaine simplement connexe. Sur un domaine qui possède des trous, l'existence globale exige en plus que les périodes de la forme différentielle −uy dx + ux dy soient nulles le long de tout lacet fermé. Lorsqu'elle existe sur un domaine connexe, la conjuguée est unique à l'addition d'une constante réelle près.
Un exemple, pas à pas
On cherche une conjuguée harmonique de la fonction u définie sur tout le plan par u(x,y) = x2 − y2.
Données : le domaine est le plan entier ; les variables réelles sont x et y ; la valeur de u est x2 − y2.
Données : le domaine est le plan entier ; les variables réelles sont x et y ; la valeur de u est x2 − y2.
1. On calcule les dérivées partielles : ux = 2x et uy = −2y. Le laplacien vaut 2 − 2 = 0, donc u est harmonique.
2. La première équation de Cauchy-Riemann impose vy = 2x. En intégrant par rapport à y, on obtient v(x,y) = 2xy + g(x), où g est encore inconnue.
3. La seconde équation impose vx = 2y. Or vx = 2y + g′(x), donc g′(x) = 0 et g est une constante réelle, notée C.
4. Le résultat est v(x,y) = 2xy + C. En choisissant C = 0, la fonction complexe obtenue est :
5. Le contrôle est refaisable au point de coordonnées (1, 1) : le gradient de u vaut (2, −2), celui de v vaut (2, 2), et leur produit scalaire vaut 4 − 4 = 0. Les deux directions sont donc perpendiculaires.
En pratique
En analyse complexe, on part souvent d'une fonction harmonique u connue et l'on intègre les équations de Cauchy-Riemann pour reconstruire une fonction holomorphe. Si le domaine a un trou, il faut contrôler les intégrales le long des lacets avant d'affirmer que la construction est globale.
En électrostatique bidimensionnelle, u peut représenter un potentiel. Les courbes u constante sont alors équipotentielles, tandis que les courbes v constante suivent les lignes de champ. Cette description est préférée à un simple tracé de u lorsque l'on veut voir simultanément niveaux et directions.
Pour vérifier un candidat v, on compare directement ux à vy, puis uy à −vx. Si l'une des deux égalités échoue, ce candidat n'est pas une conjuguée harmonique sur la zone considérée.
À ne pas confondre
Conjuguée harmonique et conjugué complexe. La première est une fonction v associée à u par les équations de Cauchy-Riemann. Le second remplace le signe de la partie imaginaire d'un nombre complexe : le conjugué complexe de x + iy est x − iy.
Fonction harmonique et fonction holomorphe. Une fonction harmonique est réelle et satisfait une équation portant sur son laplacien. Une fonction holomorphe est complexe et dérivable au sens complexe. Ainsi, u(x,y) = x2 − y2 est harmonique, tandis que f(z) = z2 est holomorphe.
Conjuguée harmonique et fonction réciproque. Une réciproque annule l'action d'une fonction par composition. Une conjuguée harmonique complète au contraire u pour former u + iv ; elle n'exige pas que u soit bijective.
Limites et pièges
Un trou peut bloquer la construction globale. La fonction u(x,y) = log √(x2 + y2) est harmonique sur le plan privé de l'origine. Elle possède localement un argument comme conjuguée, mais aucun choix continu de cet argument n'existe sur tout ce domaine. Il faut restreindre le domaine par une coupure ou travailler avec des branches locales.
L'unicité n'est pas absolue. Si v convient, alors v + C convient aussi pour toute constante réelle C. Sur un ouvert non connexe, une constante différente peut être choisie sur chaque composante. Il faut donc fixer une valeur de référence pour obtenir un représentant unique.
L'orthogonalité ne fournit pas toujours deux directions visibles. En un point où le gradient de u est nul, celui de v l'est aussi. Les courbes de niveau peuvent y avoir une singularité ; il faut revenir aux équations de Cauchy-Riemann au lieu de se fier au seul dessin.
Pour aller plus loin
La notion de fonction harmonique précise pourquoi le laplacien nul est la condition de départ et quelles propriétés elle entraîne.
La fiche sur la fonction holomorphe développe la dérivabilité complexe obtenue lorsque u et v sont réunies.
Les équations de Cauchy-Riemann donnent le critère différentiel utilisé pour construire et contrôler la conjuguée.
L'article Aux origines de l’analyse complexe replace ces fonctions dans le développement historique de la discipline.
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