équations de Cauchy-Riemann

Imaginez que l’on approche un même point du plan complexe horizontalement, verticalement ou en biais. Pour qu’une fonction complexe possède une dérivée unique, ces différentes approches doivent donner un résultat compatible.

Les équations de Cauchy-Riemann imposent précisément cet accord. Elles relient les variations horizontales et verticales des parties réelle et imaginaire de la fonction. Avec la régularité nécessaire, elles rendent le comportement local semblable à une multiplication par un nombre complexe. Celle-ci combine une rotation et un agrandissement, sans étirement privilégié dans une direction.

Soit U un ouvert du plan complexe et f une fonction de U vers ℂ. Pour un nombre complexe z=x+iy, on sépare f(z) en une partie réelle P(x,y) et une partie imaginaire Q(x,y), de sorte que f(z)=P(x,y)+iQ(x,y). Les équations de Cauchy-Riemann au point z₀=x₀+iy₀ sont le système suivant :

Si f est différentiable au sens réel en z₀, ce système équivaut à l’existence de la dérivée complexe en ce point. Cette hypothèse réelle porte sur l’approximation linéaire complète de P et Q ; la seule existence des quatre dérivées partielles au point ne suffit pas en général. Lorsque la dérivée complexe existe dans un voisinage ouvert de chaque point considéré, f est dite holomorphe sur cet ouvert. Sa dérivée au point vaut alors $f^{\mathrm{\prime }}(z_0)=P_x(x_0,y_0)+i{Q}_x(x_0,y_0)f\text{'}(z\_0)=P\_x(x\_0,y\_0)+iQ\_x(x\_0,y\_0)$.

Considérons la fonction f(z)=z² au point z₀=1+i. Les données sont x=1, y=1, P(x,y)=x²−y² et Q(x,y)=2xy. La figure représente les deux directions coordonnées après l’approximation linéaire en ce point.

1. On calcule les dérivées partielles : P_x=2x, P_y=−2y, Q_x=2y et Q_y=2x.
2. Au point (1,1), elles valent respectivement 2, −2, 2 et 2.
3. La première équation donne P_x=Q_y=2. La seconde donne P_y=−Q_x=−2.
4. Les deux égalités sont vérifiées ; comme P et Q sont des polynômes, f est différentiable au sens réel.
5. La dérivée complexe est donc f′(1+i)=2+2i.

Le contrôle direct retrouve le même résultat : pour tout incrément complexe non nul h, ${\displaystyle \frac{(z_0+h{)}^2-z_0^2}{h}}=2z_0+h\backslash dfrac\{(z\_0+h)^2-z\_0^2\}\{h\}=2z\_0+h$, qui tend vers 2z₀=2+2i lorsque h tend vers 0.

Pour tester une fonction donnée par ses parties réelle et imaginaire, on calcule quatre dérivées partielles puis on confronte les deux paires imposées. Si P et Q sont continûment différentiables dans un voisinage et que les égalités y sont satisfaites, la fonction est holomorphe dans ce voisinage.

Pour écarter rapidement l’holomorphie sur un domaine, un seul point où une égalité échoue suffit. Si les égalités ne peuvent être contrôlées ou si la régularité réelle manque, il faut revenir directement à la limite du quotient de différences plutôt que conclure.

Pour construire une fonction holomorphe à partir d’une partie réelle P, les équations donnent les dérivées recherchées de Q. On vérifie ensuite leur compatibilité avant d’intégrer ; une constante réelle d’intégration dans Q devient une constante imaginaire ajoutée à f.

Différentiabilité réelle et différentiabilité complexe. Une fonction de ℝ² vers ℝ² peut avoir une approximation linéaire réelle sans que celle-ci soit une multiplication complexe. Par exemple, f(z)=$\bar{z}\backslash overline\; z$ est différentiable au sens réel partout, mais ses dérivées partielles ne satisfont pas les équations de Cauchy-Riemann.

Équations de Cauchy-Riemann et harmonicité. Pour une fonction holomorphe dont les dérivées sont suffisamment régulières, P et Q sont harmoniques. La réciproque ne vaut pas pour deux fonctions harmoniques choisies séparément : P(x,y)=x et Q(x,y)=x sont harmoniques, mais P_x=1 diffère de Q_y=0.

Des dérivées partielles isolées ne suffisent pas. Les quatre dérivées peuvent exister en un point et vérifier le système sans que f y soit différentiable au sens réel. Il faut établir cette différentiabilité, ou employer une condition suffisante comme la continuité des dérivées partielles dans un voisinage.

Un point n’est pas un domaine. Vérifier les équations et la différentiabilité réelle en z₀ prouve la dérivabilité complexe en ce point. Pour qualifier f d’holomorphe, il faut que la dérivée complexe existe sur un ouvert, et non seulement en un point isolé.

Le signe moins est structurel. Écrire P_y=Q_x au lieu de P_y=−Q_x change le critère. Avec f(z)=z² au point (1,1), les valeurs sont −2 et 2 : seule l’égalité avec le signe moins est vraie.

Les coordonnées polaires ont une autre écriture. Les deux égalités affichées ici utilisent les coordonnées cartésiennes x et y. En coordonnées polaires, des facteurs liés au rayon apparaissent ; il ne faut pas recopier le système cartésien tel quel.

La fonction holomorphe replace le critère local dans le cadre d’un ouvert et présente les conséquences de cette régularité complexe.

La dérivée partielle précise le calcul des variations suivant x ou y qui interviennent dans les deux équations.

La fonction harmonique approfondit une propriété des parties réelle et imaginaire lorsque la fonction holomorphe possède la régularité requise.