AnalyseNotion · Glossaire
Dérivée partielle
La dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables par rapport à l'une d'elles est la limite du taux de variation de la fonction selon cette variable, les autres étant maintenues fixes. Pour une fonction f(x1,...,xn), la dérivée partielle par rapport à xi est notée ∂f/∂xᵢ et s'obtient en différentiant f en ne considérant que xi comme variable. Les dérivées partielles forment les composantes du gradient et de la matrice jacobienne. Leur existence ne garantit pas la différentiabilité totale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter une dérivée partielle comme une pente obtenue en fixant les autres variables.
- Calculer les deux dérivées partielles d'une fonction de deux variables en un point.
- Relier les résultats au gradient et à la matrice jacobienne.
- Reconnaître pourquoi l'existence des dérivées partielles ne suffit pas à la différentiabilité.
En clair
Imaginez une surface dont la hauteur dépend de deux réglages, nommés x et y. Pour savoir comment la hauteur change quand seul le réglage x bouge, on bloque y et on suit la pente dans la direction de x. Cette pente instantanée est la dérivée partielle par rapport à x.
Le même point possède ainsi une pente par variable. Réunies, ces pentes indiquent comment la valeur réagit aux petits déplacements selon chaque axe.
Définition
Soit une fonction f de deux variables, x et y, définie au voisinage du point de coordonnées a et b. La dérivée partielle de f par rapport à x en ce point mesure le taux de variation obtenu lorsque x change et que y reste égal à b. En notant h l'accroissement de x, elle est définie, lorsque la limite existe, par :
Pour une fonction de n variables, le même procédé s'applique à chaque variable xi, toutes les autres étant fixées. Si f est à valeurs réelles, les dérivées partielles réunies forment le gradient. Si une fonction possède plusieurs composantes de sortie, leurs dérivées partielles s'organisent dans la matrice jacobienne. L'existence de toutes les dérivées partielles en un point ne suffit pas à assurer la différentiabilité totale en ce point.
Un exemple, pas à pas
Considérons une surface numérique sans unité. La fonction f associe aux nombres x et y la valeur suivante : . On cherche ses deux pentes partielles au point où x vaut 2 et y vaut 1.
Données.
La fonction est .
Le point étudié est (2, 1).
Pour la première pente, y reste fixé à 1 ; pour la seconde, x reste fixé à 2.
La fonction est .
Le point étudié est (2, 1).
Pour la première pente, y reste fixé à 1 ; pour la seconde, x reste fixé à 2.
1. En dérivant par rapport à x, y est traité comme une constante : .
2. Au point (2, 1), cette dérivée vaut exactement . La coupe obtenue en gardant y égal à 1 a donc une pente 7 à cet endroit.
3. En dérivant par rapport à y, x est constant : . Au même point, la valeur exacte est .
Le gradient au point (2, 1) est donc le couple (7, 8), sans unité. Pour contrôler le premier résultat, on fixe y à 1 : la fonction devient , dont la dérivée ordinaire vaut 2x + 3, soit 7 pour x égal à 2. La coupe et sa tangente rendent cette vérification visible.
En pratique
Pour isoler l'effet d'une variable dans une formule, on maintient les autres constantes puis on calcule la dérivée partielle correspondante. Si plusieurs variables changent ensemble selon une direction imposée, une dérivée directionnelle décrit mieux la variation suivie.
Pour une fonction à valeurs réelles, on rassemble les dérivées partielles dans le gradient. Ce vecteur convient lorsque l'on veut comparer les variations selon les axes ; pour plusieurs sorties, on organise plutôt les résultats dans une matrice jacobienne.
Avant d'interpréter un calcul, on vérifie quelles variables ont réellement été fixées. Une relation entre elles, telle que y égal à x, impose un déplacement conjoint et change le taux de variation observé.
À ne pas confondre
Dérivée ordinaire. Elle concerne une fonction d'une seule variable, ou une fonction de plusieurs variables suivie le long d'un chemin. Pour f(x, y) avec y égal à x, la variation le long du chemin fait bouger x et y ; ce n'est pas une dérivée partielle.
Dérivée directionnelle. Elle mesure la variation dans une direction choisie, qui peut combiner plusieurs axes. La dérivée partielle est le cas où la direction est celle d'un seul axe de coordonnées.
Différentielle totale. Elle fournit une approximation linéaire commune à tous les petits déplacements. Des dérivées partielles peuvent exister séparément sans qu'une telle approximation soit valable.
Limites et pièges
Des dérivées partielles ne garantissent pas la différentiabilité. Considérons la fonction g définie par et, ailleurs, par . Ses deux dérivées partielles en (0, 0) valent 0, car g est nulle sur chaque axe. Pourtant, sur le chemin y égal à x, g vaut 1/2 hors de l'origine : elle n'est même pas continue en (0, 0), donc pas différentiable. Il faut étudier le comportement pour des déplacements conjoints.
Fixer une variable est une hypothèse, pas un détail. Si y dépend de x, calculer seulement la dérivée partielle par rapport à x ignore la variation transmise par y. Le symptôme est un résultat différent de celui obtenu le long de la contrainte ; il faut alors dériver la fonction composée ou employer une dérivée directionnelle.
L'ordre des dérivations mixtes demande des hypothèses. Les deux dérivées partielles secondes ne sont pas automatiquement égales. Leur continuité dans un voisinage fournit une condition classique pour pouvoir échanger l'ordre ; sans régularité suffisante, il faut calculer et comparer les deux ordres.
Pour aller plus loin
matrice jacobienne. Elle montre comment organiser les dérivées partielles lorsqu'une fonction possède plusieurs composantes de sortie.
théorème de Schwarz. Il précise sous quelles hypothèses l'ordre de deux dérivations partielles peut être échangé.
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