AnalyseObjet mathématique · Glossaire
matrice jacobienne
Soit F une fonction vectorielle définie de ℝⁿ vers ℝᵐ, décomposée en m composantes f₁(x₁, ..., xₙ), f₂(x₁, ..., xₙ), ..., fₘ(x₁, ..., xₙ). La matrice jacobienne de F est la matrice rectangulaire de taille m×n dont la i-ème ligne est constituée des dérivées partielles premières de fᵢ par rapport à chacune des variables : ∂fᵢ/∂x₁, ∂fᵢ/∂x₂, ..., ∂fᵢ/∂xₙ. Lorsque m = n, la matrice jacobienne est carrée et son déterminant s'appelle le jacobien de F. Le jacobien joue un rôle fondamental dans les formules de changement de variables dans les intégrales multiples, ainsi que dans l'étude locale des difféomorphismes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle des lignes, des colonnes et de chaque dérivée partielle.
- Construire une matrice jacobienne 2×2 et vérifier son déterminant.
- Distinguer la matrice jacobienne du jacobien et reconnaître les cas où le déterminant n’existe pas.
En clair
Imaginez une machine qui reçoit plusieurs nombres et en renvoie plusieurs autres. Si l’on bouge très légèrement une seule entrée, chaque sortie peut varier à son propre rythme. La matrice jacobienne rassemble tous ces rythmes de variation en un même objet.
Chaque colonne suit l’effet d’une variable d’entrée. Chaque ligne suit une composante de sortie. Près d’un point donné, cette grille indique ainsi comment une petite variation des entrées se transmet aux sorties.
Définition
On considère une fonction vectorielle F qui transforme n variables réelles x1, …, xn en m composantes réelles f1, …, fm. En un point où toutes les dérivées partielles premières existent, la matrice jacobienne de F regroupe ces m×n dérivées.
En notant JF cette matrice, sa forme est . L’entrée placée sur la ligne i et la colonne j mesure la variation de la composante fi lorsque seule la variable xj varie. La matrice dépend généralement du point x où les dérivées sont évaluées.
Si le nombre de sorties m diffère du nombre d’entrées n, la matrice est rectangulaire. Si m = n, elle est carrée et son déterminant est appelé le jacobien de F. Ce nombre intervient dans les changements de variables des intégrales multiples et dans l’étude locale des difféomorphismes.
De quoi c'est fait
Une matrice jacobienne réunit cinq éléments. La fonction vectorielle F fixe la transformation étudiée. Les n variables d’entrée déterminent ses colonnes, tandis que les m composantes de sortie déterminent ses lignes. Le point d’évaluation fixe les valeurs numériques. Enfin, chaque case contient une dérivée partielle première.
La case de la ligne associée à fi et de la colonne associée à xj dépend donc à la fois de cette sortie et de cette entrée. Une ligne rassemble la sensibilité d’une sortie à toutes les entrées. Une colonne rassemble l’effet d’une entrée sur toutes les sorties. Ces choix suffisent à construire la matrice, à connaître sa taille m×n et, lorsqu’elle est carrée, à calculer son déterminant.
Un exemple, pas à pas
La fonction F reçoit les deux nombres réels x et y, puis renvoie deux composantes : f1(x,y)=x2+y et f2(x,y)=xy. On cherche sa matrice jacobienne au point de coordonnées (2,3). Les données sont donc x=2, y=3, une première sortie f1 et une seconde sortie f2.
1. Pour la première ligne, les dérivées partielles de f1 par rapport à x puis à y valent 2x et 1.
2. Pour la seconde ligne, les dérivées partielles de f2 par rapport à x puis à y valent y et x.
3. En remplaçant x par 2 et y par 3, on obtient . La figure associe chaque valeur à sa variable d’entrée et à sa composante de sortie.
4. La matrice est carrée. Son déterminant, donc le jacobien en ce point, vaut .
Le contrôle consiste à reprendre les lignes dans l’ordre des sorties et les colonnes dans l’ordre x, puis y. On retrouve bien quatre dérivées, une matrice 2×2 et le déterminant 5.
En pratique
Pour une transformation suffisamment régulière entre domaines de même dimension et un changement de variables admissible dans une intégrale multiple, on écrit la transformation, on construit sa matrice jacobienne puis on calcule son déterminant, dont la valeur absolue fournit le facteur de changement de volume. Si la transformation n’est pas carrée, ce déterminant n’existe pas et il faut employer un outil adapté aux dimensions en présence.
Pour étudier l’inversibilité locale d’une application entre espaces de même dimension, on évalue le jacobien au point considéré. Si l’application est de classe C¹ dans un voisinage de ce point, un déterminant non nul permet d’appliquer le théorème d’inversion locale ; un déterminant nul ne permet pas cette conclusion.
Pour suivre l’effet de petites variations, on lit plutôt toute la matrice que son seul déterminant. Dans l’exemple, la première colonne (4,3) décrit les variations des deux sorties liées à x, tandis que la seconde colonne (1,2) décrit celles liées à y.
À ne pas confondre
Matrice jacobienne et jacobien. La première est le tableau de toutes les dérivées partielles premières. Le second est son déterminant lorsque ce tableau est carré. Dans l’exemple, la matrice possède quatre coefficients, tandis que le jacobien est le nombre 5.
Matrice jacobienne et dérivée partielle. Une dérivée partielle ne suit qu’une composante par rapport à une variable. La matrice les réunit toutes selon un ordre fixé. Pour f1(x,y)=x2+y, ∂f1/∂x=2x n’est qu’une case de la matrice.
Jacobienne et gradient. Le gradient d’une fonction à sortie réelle rassemble ses dérivées partielles sous la forme d’un vecteur. La jacobienne traite aussi plusieurs sorties : dès que m>1, elle comporte une ligne par composante.
Limites et pièges
Matrice rectangulaire. Lorsque m≠n, la matrice jacobienne existe encore si les dérivées requises existent, mais son déterminant n’est pas défini. Le symptôme est un nombre de lignes différent du nombre de colonnes : il ne faut alors pas parler du jacobien comme d’un déterminant.
Dérivées partielles isolées. L’existence de toutes les dérivées partielles en un point ne garantit pas, à elle seule, que la fonction y possède une bonne approximation linéaire. Avant d’interpréter la matrice comme la transformation locale complète, il faut vérifier la différentiabilité de F au point étudié.
Déterminant nul. Pour une matrice carrée, un jacobien nul bloque l’application directe du théorème d’inversion locale. Il ne prouve toutefois pas que la fonction n’est jamais inversible : la fonction réelle x↦x3 est injective alors que sa dérivée vaut 0 en x=0.
Changement de variables. Dans une intégrale multiple, le facteur d’échelle est la valeur absolue du déterminant jacobien. Un déterminant négatif signale un changement d’orientation, mais une mesure d’aire ou de volume ne devient pas négative.
Pour aller plus loin
Dérivée partielle — Pour approfondir le calcul de chaque coefficient d’une matrice jacobienne en faisant varier une seule variable.
jacobien - déterminant - — Pour se concentrer sur le cas carré et sur le nombre obtenu à partir de la matrice.
Difféomorphisme — Pour relier un jacobien non nul à l’étude des changements de coordonnées localement inversibles.
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