Dérivée suivant un vecteur

Imaginez un paysage dont l’altitude est donnée en chaque point. Depuis un endroit précis, vous avancez selon une flèche choisie. La dérivée suivant ce vecteur indique à quelle vitesse l’altitude commence à varier. Un résultat positif signale une montée, un résultat négatif une descente et zéro un départ momentanément à plat dans cette direction.

La longueur de la flèche compte aussi : si le vecteur est deux fois plus long, le taux obtenu est deux fois plus grand. Pour mesurer une variation par unité de distance, on choisit donc un vecteur de longueur 1.

Soit une fonction f définie au voisinage d’un point a, et soit v un vecteur. La dérivée directionnelle de f en a suivant v, lorsqu’elle existe, est notée D_vf(a). Elle se définit par le taux d’accroissement obtenu en parcourant la droite a + tv, où t est un nombre réel qui tend vers 0 :

Lorsqu’il est non nul, le vecteur v fixe à la fois la direction, le sens et l’échelle du déplacement ; pour v = 0, le déplacement reste nul. Si f est différentiable en a, sa différentielle df_a est linéaire et D_vf(a) = df_a(v). Dans un espace euclidien, cette valeur est le produit scalaire du gradient de f en a avec v : $D_{v}f(a)=\mathrm{\nabla }f(a)\cdot vD\_v\; f(a)=\backslash nabla\; f(a)\backslash cdot\; v$. Pour v de longueur 1, elle représente le taux de variation par unité de distance. L’existence de D_vf(a) pour tout vecteur v ne suffit toutefois pas, à elle seule, à rendre f différentiable en a.

Le calcul réunit sept éléments. La fonction f attribue une valeur aux points de son domaine. Le point a est le lieu où l’on observe la variation. Le vecteur v choisit le déplacement. Le paramètre réel t en règle l’amplitude par le point voisin a + tv. La différence f(a + tv) − f(a) mesure alors la variation de valeur, et sa division par t donne un taux moyen. Enfin, la limite lorsque t tend vers 0 transforme ce taux moyen en taux instantané.

Le point voisin dépend donc simultanément de a, de v et de t. Le quotient dépend à son tour des deux valeurs de f. Ces données suffisent à calculer la dérivée directionnelle sans gradient ; le gradient offre une voie plus courte seulement lorsque la différentiabilité de f est établie.

On considère la fonction f définie par f(x,y) = x² + xy. Le point de départ est a = (1,2) et le vecteur choisi est v = (2,−1). On cherche D_vf(a).

1. Paramétrer le déplacement : a + tv = (1 + 2t, 2 − t).

2. Évaluer la fonction au point déplacé : $f(1+2t,2-t)=3+7t+2t^{2}f(1+2t,2-t)=3+7t+2t^2$. Au point de départ, f(1,2) = 3.

3. Former le quotient pour t non nul : $\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=7+2t\backslash frac\{f(a+tv)-f(a)\}\{t\}=7+2t$.

4. Faire tendre t vers 0 : D_vf(a) = 7. La valeur de f augmente donc initialement de 7 unités pour une unité du paramètre t. La figure représente au même point le vecteur suivi et le gradient utilisé pour le contrôle.

5. Contrôler par le gradient : ∇f(x,y) = (2x + y,x), donc ∇f(1,2) = (4,1). Le produit scalaire vaut (4,1) · (2,−1) = 8 − 1 = 7, ce qui confirme le résultat.

Sur une carte d’altitude modélisée par une fonction, la dérivée suivant le vecteur du trajet donne la pente initiale dans ce trajet. Lorsque la fonction est différentiable, le gradient est préférable si l’on cherche plutôt la direction de montée la plus rapide parmi les directions unitaires.

Pour étudier l’effet simultané de plusieurs paramètres, on choisit un vecteur qui décrit leur variation conjointe. La dérivée directionnelle mesure alors la sensibilité à ce scénario précis ; une dérivée partielle convient lorsque seul un paramètre varie et que les autres restent fixes.

Dans un calcul, la limite issue de a + tv reste la méthode directe. Le produit ∇f(a) · v est plus rapide lorsque la fonction est déjà connue comme différentiable et que son gradient est accessible.

Dérivée partielle. Elle fait varier une seule coordonnée et correspond à une dérivée directionnelle suivant un vecteur de la base. Avec v = (2,−1), les deux coordonnées varient : le calcul n’est donc pas une dérivée partielle.

Gradient. Le gradient ∇f(a) est un vecteur qui rassemble l’information locale dans toutes les directions lorsque f est différentiable. D_vf(a) est, lui, un nombre associé au vecteur choisi. Dans l’exemple, (4,1) est le gradient tandis que 7 est la dérivée suivant (2,−1).

Différentielle. La différentielle df_a est une application linéaire des vecteurs vers les taux de variation. La dérivée directionnelle est sa valeur sur v seulement si f est différentiable en a ; l’existence de toutes les dérivées directionnelles ne garantit pas cette identification.

Vecteur nul. Pour v = 0, le point a + tv reste égal à a : le quotient est nul pour t ≠ 0 et la dérivée vaut 0. Ce calcul ne décrit aucune direction de déplacement.

Vecteur non unitaire. Le résultat dépend de la longueur et du sens de v. Si l’on veut une variation par unité de distance dans un sens donné, il faut remplacer v non nul par le vecteur unitaire v/‖v‖. Dans l’exemple, ‖v‖ = √5 et le taux unitaire vaut 7/√5.

Limite à deux côtés. La définition donnée impose t → 0 par valeurs positives et négatives. Si les deux comportements ne coïncident pas, la dérivée suivant v n’existe pas selon cette convention ; une dérivée unilatérale doit être annoncée comme telle.

Toutes les directions ne suffisent pas. Une fonction peut posséder une dérivée directionnelle dans chaque direction en un point sans y admettre d’approximation linéaire commune. Il faut alors revenir à la définition de la différentiabilité, au lieu de conclure à partir de la seule existence de ces limites.

La fiche Différentielle précise l’approximation linéaire qui autorise l’identité D_vf(a) = df_a(v).

La fiche Dérivée partielle montre le cas où la direction choisie est l’un des vecteurs de la base.

L’article Méthode du gradient : skier pour minimiser relie le gradient, les directions de variation et la recherche d’un minimum.