Gateaux René

René Eugène Gateaux (1889-1914), issu d'un milieu modeste, entre à l'École normale supérieure en 1907, où il suit notamment les cours de Hadamard et de Borel. Reçu à l'agrégation en 1910 puis professeur au lycée de Bar-le-Duc en 1912, il prépare parallèlement une thèse sur l'analyse fonctionnelle et ses applications à la théorie du potentiel.

En 1913, une bourse lui permet de rejoindre Volterra à Rome, où il travaille sur l'intégration en dimension infinie, publie plusieurs articles et adresse des communications à l'Académie des sciences. Mobilisé en août 1914, il meurt au combat le 3 octobre ; Hadamard et Paul Lévy font ensuite publier ses travaux, et Gateaux reçoit à titre posthume le prix Francoeur en 1916. La notion qui porte son nom prolonge ce programme : on part d'un point, on avance dans une direction choisie et on observe la variation de la fonction. Si les variations obtenues dans toutes les directions sont décrites par une même application linéaire continue, celle-ci est la différentielle de Gâteaux.

La différentiabilité au sens de Gâteaux concerne une application f définie sur un ouvert U d'un espace vectoriel normé réel E et prenant ses valeurs dans un autre espace vectoriel normé réel F. Le point étudié, noté a, appartient à U. Le vecteur v indique une direction dans E.

Il faut qu'il existe une application linéaire continue L de E vers F telle que, pour chaque vecteur v, le taux de variation suivant tende vers L(v) lorsque le réel positif t tend vers zéro :

L'application L est la différentielle de Gâteaux de f au point a. La condition est plus forte que la simple existence d'une limite dans chaque direction : toutes les limites doivent provenir d'une seule application L, à la fois linéaire et continue. Cette généralisation de la dérivée directionnelle a permis à Gateaux d'aborder le calcul et l'intégration en dimension infinie.

Considérons la fonction f qui associe au couple réel (x, y) le nombre x² + 3y². Le point de départ est a = (1, 2), et la direction testée est v = (3, −1).

1. Pour un réel positif t, le point déplacé est a + tv = (1 + 3t, 2 − t).

2. On évalue d'abord $f(a+tv)=(1+3t{)}^2+3(2-t{)}^2=13-6t+12t^{2}f(a+tv)=(1+3t)^2+3(2-t)^2=13-6t+12t^2$ et $f(a)=13f(a)=13$. Le taux de variation se simplifie alors exactement : $\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=-6+12t\backslash frac\{f(a+tv)-f(a)\}\{t\}=-6+12t$.

3. Lorsque t tend vers 0 par valeurs positives, ce taux tend vers −6. La variation directionnelle vaut donc −6.

4. Pour contrôler le résultat, la même application linéaire agit sur toute direction (u, w) par L(u, w) = 2u + 12w. Avec v = (3, −1), elle donne L(v) = 6 − 12 = −6. La courbe associée au taux −6 + 12t rend visible son approche de −6.

Pour étudier la sensibilité d'une fonction en plusieurs variables, on choisit une direction et on calcule le taux de variation le long de cette droite. Si les résultats s'assemblent en une application linéaire continue, la différentielle de Gâteaux fournit une approximation directionnelle cohérente.

Dans un espace de fonctions, où les « points » sont eux-mêmes des fonctions, le même geste consiste à perturber l'objet dans une direction fonctionnelle. C'est ce passage aux espaces de dimension infinie qui relie la notion aux recherches de Gateaux sur l'analyse fonctionnelle et l'intégration.

Si l'on a besoin d'une approximation uniforme pour toutes les petites perturbations, tester les directions une par une ne suffit pas. Il faut alors rechercher une condition de différentiabilité plus forte.

Dérivée directionnelle. Elle correspond à une direction particulière. La différentielle de Gâteaux exige davantage : les valeurs obtenues pour toutes les directions doivent être celles d'une même application linéaire continue L. Des limites directionnelles qui ne dépendent pas linéairement de v ne satisfont donc pas la définition donnée ici.

Différentiabilité de Fréchet. Celle-ci contrôle l'erreur pour toutes les petites perturbations autour du point, et pas seulement limite après limite le long de chaque direction fixée. Une approximation uniforme de ce type fournit les limites de Gâteaux ; la réciproque n'est pas automatique.

Des limites séparées ne suffisent pas. Il peut exister une limite pour chaque direction v sans que leur valeur dépende linéairement de v. Le symptôme est l'impossibilité d'écrire toutes ces valeurs sous la forme L(v) avec une seule application linéaire continue.

La direction n'est pas la perturbation complète. La limite fixe v puis fait tendre t vers 0. Elle ne contrôle pas, à elle seule, ce qui arrive lorsque la direction varie en même temps que t. Il faut donc éviter de conclure à une approximation uniforme sans hypothèse supplémentaire.

Le vecteur nul est un cas charnière. Pour v = 0, le quotient vaut 0 pour tout t non nul et impose L(0) = 0. Ce contrôle est nécessaire, mais il ne prouve ni la linéarité ni la continuité de L sur les autres directions.

La fiche « Différentielle » replace l'application linéaire L dans le cadre général de la variation locale.

L'entrée « analyse fonctionnelle » présente le domaine dans lequel les travaux de Gateaux ont trouvé leur prolongement.

Le portrait « Hadamard Jacques » éclaire le rôle du mathématicien qui conseilla Gateaux et contribua à faire publier ses travaux après sa mort.