Partie linéaire

Sur une courbe lisse, zoomez autour d’un point. Un petit morceau finit par ressembler à une droite. La partie linéaire décrit précisément la variation donnée par cette droite tangente.

Pour la fonction qui associe à un nombre son carré, près de 2, une petite variation de 0,5 est estimée en multipliant 0,5 par la pente 4. On prévoit ainsi une hausse de 2. Cette règle locale remplace momentanément la courbe par un calcul linéaire.

Soit une fonction f définie entre deux espaces vectoriels normés et un point x₀ de son domaine. Si f est différentiable en x₀, sa partie linéaire en ce point est la différentielle, notée d f(x₀). C’est l’unique application linéaire qui décrit la variation de f au premier ordre. Pour un petit vecteur h, la relation précise est :

Le terme de reste devient négligeable devant la norme de h lorsque h tend vers le vecteur nul. La somme de la valeur f(x₀) et de la partie linéaire forme l’approximation affine tangente. Dans des coordonnées de dimension finie, la matrice jacobienne représente la différentielle ; la matrice dépend des bases choisies, tandis que l’application linéaire n’en dépend pas. Pour une fonction réelle d’une variable réelle, d f(x₀) envoie h sur f′(x₀)h. Dans un développement limité au premier ordre, le terme de degré un est précisément d f(x₀)(h), à condition que le développement soit écrit en puissances de l’accroissement h autour de x₀.

On considère la fonction f qui associe à tout réel x son carré. Le point de départ est x₀ = 2 et l’accroissement choisi est h = 0,5. La valeur initiale vaut f(2) = 4 et la dérivée de f en 2 vaut 4.

1. La partie linéaire applique l’accroissement h à la pente 4 : d f(2)(0,5) = 4 × 0,5 = 2.
2. L’approximation affine ajoute cette variation à la valeur initiale : f(2,5) ≈ 4 + 2 = 6.
3. Le calcul exact donne f(2,5) = 2,5² = 6,25.

L’écart entre la valeur exacte et l’approximation vaut 6,25 − 6 = 0,25, soit h². Le contrôle est refaisable avec h = 0,1 : la partie linéaire prévoit 4,4, tandis que la valeur exacte est 2,1² = 4,41. L’écart tombe alors à 0,01, ce qui montre que l’approximation s’améliore au voisinage de 2.

Pour estimer rapidement l’effet d’une petite perturbation, on applique la différentielle à cette perturbation. Si la variation n’est plus petite à l’échelle du problème, une approximation d’ordre supérieur ou un calcul exact devient préférable.

Avec plusieurs variables, la matrice jacobienne transforme simultanément de petits changements des entrées en une variation estimée des sorties. Si la fonction n’est pas différentiable au point étudié, cette multiplication matricielle ne fournit pas de linéarisation valide.

Dans un développement limité, isoler les termes de degré un révèle la partie linéaire. Les termes constants donnent la valeur de départ ; les degrés deux et plus mesurent les premières corrections que l’approximation linéaire ignore.

Partie linéaire et approximation affine. La partie linéaire d f(x₀) transforme seulement l’accroissement h. L’approximation affine y ajoute la valeur f(x₀). Pour la fonction carré près de 2, la partie linéaire vaut 4h, tandis que l’approximation affine vaut 4 + 4h.

Différentielle et matrice jacobienne. La différentielle est une application linéaire entre espaces. Sa matrice jacobienne est son écriture dans des coordonnées choisies. Un changement de bases modifie la matrice, mais pas l’application linéaire représentée.

Partie linéaire locale et partie linéaire d’une application affine. Pour une application affine de la forme A(x) = L(x) + b, L est une application linéaire globale. Pour une fonction non linéaire, la différentielle dépend en général du point choisi.

L’existence d’une tangente visuelle ne suffit pas. La partie linéaire au sens de la différentielle exige la différentiabilité. En plusieurs variables, l’existence de toutes les dérivées partielles en un point ne garantit pas, à elle seule, cette propriété ; il faut vérifier la différentiabilité.

Une différentielle nulle n’annonce pas une fonction constante. Pour la fonction carré en 0, la partie linéaire est nulle, mais la fonction varie par un terme de degré deux. Il faut alors examiner les ordres supérieurs.

L’approximation est locale. Pour la fonction carré près de 2, l’erreur exacte de 4 + 4h est h². Elle vaut 0,01 lorsque h = 0,1, mais 1 lorsque h = 1. Il faut contrôler le reste avant d’utiliser l’estimation loin du point de départ.

Le degré un dépend du centre choisi. Un développement limité s’écrit en puissances de l’accroissement autour d’un point fixé. Changer ce point change généralement le coefficient linéaire ; il faut donc annoncer le centre avant d’isoler la partie linéaire.

Différentielle — Approfondir l’application linéaire qui encode la variation au premier ordre et ses conditions d’existence.

matrice jacobienne — Passer de la différentielle abstraite à son calcul en coordonnées pour plusieurs variables.

Développements limités — Situer le terme linéaire parmi le terme constant, les ordres supérieurs et le reste.