AnalyseFormule · Glossaire
Règle de la chaine
La règle de la chaîne est une formule fondamentale du calcul différentiel permettant de calculer la dérivée d'une fonction composée. Pour deux fonctions dérivables f et g, la dérivée de g composée avec f s'écrit (g composée f)' = (g' composée f) fois f'. En plusieurs variables, si f est différentiable en un point et g est différentiable en f(a), la différentielle de g composée avec f est la composée des différentielles. Cette règle s'étend aux fonctions de plusieurs variables par la multiplication des matrices jacobiennes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les fonctions intérieure et extérieure d'une composition.
- Appliquer la formule sans oublier le facteur intérieur.
- Vérifier sur (3x + 1)² que la dérivée vaut 42 en x = 2.
- Lire l'extension à plusieurs variables comme un produit de matrices jacobiennes.
- Repérer les cas où les hypothèses de dérivabilité manquent.
En clair
Imaginez une machine qui transforme un nombre, puis transmet son résultat à une seconde machine. Si le nombre de départ bouge un peu, la première transformation amplifie ou réduit ce mouvement. La seconde agit ensuite sur le résultat déjà modifié.
La règle de la chaîne mesure l'effet total : elle multiplie le taux de variation de la seconde transformation par celui de la première. Elle évite ainsi de développer toute l'expression avant de la dériver.
Définition
Une fonction composée applique successivement deux fonctions. La fonction intérieure, notée f, transforme d'abord la variable x. La fonction extérieure, notée g, agit ensuite sur la valeur f(x). La composée se note g ∘ f et associe à x la valeur g(f(x)).
Si f est dérivable en x et si g est dérivable en f(x), la règle de la chaîne donne . Le facteur g′(f(x)) mesure la variation de la fonction extérieure à l'endroit effectivement atteint ; le facteur f′(x) mesure la variation produite par la fonction intérieure. L'ordre de composition compte.
En plusieurs variables, f peut envoyer un vecteur vers un autre espace et g poursuivre la transformation. Si f est différentiable au point a et g au point f(a), alors . Dans des bases choisies, cette composition devient le produit des matrices jacobiennes, celle de g multipliant celle de f.
Le principe
Soit f une fonction dérivable en un réel x, et soit g une fonction dérivable en la valeur f(x). On suppose que la composée g ∘ f est définie dans un voisinage de x. Alors elle est dérivable en x et sa dérivée est :
On dérive donc la fonction extérieure en conservant l'expression intérieure, puis on multiplie par la dérivée de cette expression intérieure.
Quand l'utiliser
La règle s'applique lorsque l'expression est bien une composition : une valeur f(x) est calculée, puis utilisée comme entrée de g. La composée g ∘ f doit être définie dans un voisinage de x : pour tout t assez proche de x, f(t) doit appartenir au domaine de g. Il faut aussi que f soit dérivable en x et que g soit dérivable en f(x). Ces conditions donnent la dérivée de la composée au point x.
Par exemple, si f(x) = x et si g(u) = |u|, la fonction extérieure n'est pas dérivable à la valeur f(0) = 0. La règle ne fournit donc aucune dérivée en 0 ; le calcul direct des taux à gauche et à droite montre qu'ils diffèrent. Il faut alors revenir à la définition de la dérivée ou étudier les dérivées unilatérales.
Un exemple, pas à pas
On veut dériver la fonction h définie par h(x) = (3x + 1)2, puis calculer sa dérivée en x = 2. Les données sont la fonction intérieure f(x) = 3x + 1, la fonction extérieure g(u) = u2 et la relation h = g ∘ f.
1. La dérivée de la fonction intérieure est f′(x) = 3.
2. La dérivée de la fonction extérieure est g′(u) = 2u.
3. À l'entrée f(x), cette dernière devient g′(f(x)) = 2(3x + 1).
4. La règle de la chaîne donne .
5. En x = 2, la valeur intérieure vaut 7 et h′(2) = 6 × 7 = 42.
2. La dérivée de la fonction extérieure est g′(u) = 2u.
3. À l'entrée f(x), cette dernière devient g′(f(x)) = 2(3x + 1).
4. La règle de la chaîne donne .
5. En x = 2, la valeur intérieure vaut 7 et h′(2) = 6 × 7 = 42.
Le résultat est un taux de variation égal à 42 au point x = 2. Un contrôle indépendant consiste à développer h(x) = 9x2 + 6x + 1 : sa dérivée 18x + 6 vaut également 42 en x = 2. Le schéma de la composition rend visibles les deux taux successifs dont le produit donne ce résultat.
En pratique
Pour une expression emboîtée comme (3x + 1)2, on repère d'abord ce qui est calculé à l'intérieur, puis l'opération extérieure. Un développement préalable reste possible pour un petit polynôme, mais la règle de la chaîne devient préférable dès que développer allonge le calcul.
Lorsqu'une grandeur dépend du temps par l'intermédiaire d'une autre grandeur, la règle relie les taux successifs. Si la dépendance n'est pas emboîtée mais prend la forme d'un produit de deux fonctions, c'est la règle du produit qu'il faut employer.
Pour une transformation à plusieurs entrées et plusieurs sorties, le même geste devient une multiplication de matrices jacobiennes. Une dérivée partielle isolée convient plutôt lorsqu'on ne fait varier qu'une coordonnée et qu'aucune composition complète n'est à propager.
À ne pas confondre
Règle du produit. Elle traite une multiplication de deux fonctions évaluées au même x, et non l'entrée d'une fonction dans une autre. Ainsi, x2 sin(x) relève du produit, tandis que sin(x2) relève de la chaîne.
Règle de puissance. Elle suffit pour xn. Dès que la base est une fonction u(x), comme (3x + 1)2, la dérivée de la puissance doit encore être multipliée par u′(x) : c'est précisément le facteur ajouté par la chaîne.
Dérivée partielle. Elle mesure la variation selon une variable choisie d'une fonction à plusieurs variables. La règle de la chaîne décrit plutôt la propagation d'une variation à travers une composition ; les deux outils se combinent quand les fonctions composées ont plusieurs variables.
Limites et pièges
Une dérivabilité manque au point intermédiaire. Si g n'est pas dérivable en f(x), la formule ne peut pas être appliquée à ce point. Le symptôme est souvent l'absence d'un taux unique, comme pour |x| en 0 ; il faut examiner directement le quotient de différences ou les deux côtés.
Le facteur intérieur s'annule. Une fonction extérieure peut varier alors que la composée a une dérivée nulle. Par exemple, pour sin(x2), la dérivée en 0 vaut 0 parce que la dérivée de x2 en 0 vaut 0. Il ne faut pas supprimer ce facteur.
L'échec des hypothèses n'implique pas toujours l'échec de la composée. La fonction f(x) = |x| n'est pas dérivable en 0, mais si g(u) = u2, alors g(f(x)) = x2 l'est. La règle donne une condition suffisante ; dans ce cas, on calcule directement la composée.
En plusieurs variables, l'ordre des matrices est imposé. La matrice jacobienne de g, évaluée en f(a), se place à gauche de celle de f. Une inversion peut rendre les dimensions incompatibles ou donner une autre application linéaire ; il faut suivre l'ordre des transformations.
Pour aller plus loin
Différentielle — Passez de la dérivée réelle à l'application linéaire qui décrit localement une transformation en plusieurs variables.
matrice jacobienne — Voyez comment les dérivées partielles s'organisent en matrices et comment leur produit traduit une composition.
Dérivée partielle — Isolez la variation selon une coordonnée avant d'aborder la chaîne pour des fonctions de plusieurs variables.
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