AnalyseFormule · Glossaire
Faà di Bruno (formule de)
La formule de Faà di Bruno est une généralisation de la règle de dérivation en chaîne donnant la n-ième dérivée d'une composition de fonctions. Elle exprime la n-ième dérivée de f(g(x)) à partir des dérivées de f et de g via une somme sur les partitions de l'entier n. Les coefficients sont des polynômes de Bell. Cette formule, connue depuis le 19ème siècle, est utile dans le calcul des développements en série et trouve des applications en combinatoire et en statistique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la formule générale aux partitions de l’ordre de dérivation.
- Identifier le rôle des polynômes de Bell partiels.
- Recalculer la dérivée quatrième de l’exponentielle de x².
- Reconnaître les hypothèses et les cas où la version scalaire ne s’applique pas.
En clair
Prenons une fonction emboîtée comme l’exponentielle de x². Une dérivation demande déjà de tenir compte de l’extérieur, l’exponentielle, et de l’intérieur, le carré. À la quatrième dérivation, plusieurs façons de répartir ces quatre opérations entre les deux étages apparaissent.
La formule de Faà di Bruno organise ces possibilités sans en oublier ni en compter deux fois. Les partitions de l’ordre de dérivation servent de plan de classement, tandis que les polynômes de Bell fournissent les coefficients. Elle prolonge ainsi la règle de la chaîne à n’importe quel ordre entier positif.
Définition
Soit f la fonction extérieure, g la fonction intérieure et n un entier positif. La formule de Faà di Bruno exprime la dérivée d’ordre n de leur composition. Si k désigne le nombre de dérivées de f dans un terme, la forme utilisant les polynômes de Bell partiels Bn,k est :
Le polynôme Bn,k rassemble les répartitions de n en k parts. De façon équivalente, chaque terme correspond à des entiers m1, …, mn positifs ou nuls tels que 1m1 + 2m2 + … + nmn = n ; leur somme vaut k. Le coefficient associé est n! divisé par le produit des mj! et des puissances (j!)mj. Pour n = 1, il ne reste que la règle de la chaîne. Cette organisation rend praticables les dérivées d’ordre élevé, les développements en série et certains calculs en combinatoire ou en statistique.
Le principe
Supposons que la fonction intérieure g admette des dérivées jusqu’à l’ordre n et que la fonction extérieure f admette les dérivées requises aux valeurs prises par g. Alors :
La contrainte sous la somme sélectionne exactement les partitions de l’ordre n. Chaque choix indique combien de fois intervient la dérivée d’ordre j de g ; le facteur combinatoire compte les répartitions correspondantes.
Quand l'utiliser
On fixe un entier n ≥ 1 et un point x. La fonction g doit être n fois dérivable au voisinage de x. La fonction f doit posséder jusqu’à n dérivées au voisinage de g(x), ou au minimum toutes celles qui interviennent dans la formule. La composition f ∘ g doit naturellement être définie près de x. Ces conditions suffisent dans le cadre usuel des fonctions réelles ou complexes d’une variable.
Si g n’a pas de dérivée d’ordre n au point étudié, la somme formelle ne prouve pas que la dérivée composée existe. Par exemple, avec g(x) = |x| au voisinage de 0, la formule classique ne s’applique déjà pas à l’ordre 1. Il faut alors étudier directement la composition, employer des dérivées unilatérales ou changer de notion de dérivée selon le problème.
Un exemple, pas à pas
On cherche la dérivée quatrième de la fonction h définie par h(x) = ex². Les données sont la fonction extérieure f(u) = eu, la fonction intérieure g(x) = x² et l’ordre n = 4. Toutes les dérivées de f valent eu. Pour g, on a g′(x) = 2x, g″(x) = 2, puis g‴(x) = g⁽⁴⁾(x) = 0.
1. Les répartitions qui ne font intervenir que g′ et g″ sont 4 = 1 + 1 + 1 + 1, 4 = 2 + 1 + 1 et 4 = 2 + 2. Les autres termes contiennent g‴ ou g⁽⁴⁾ et sont nuls.
2. Les trois polynômes de Bell non nuls donnent respectivement (2x)4 = 16x4, 6(2x)2 × 2 = 48x² et 3 × 2² = 12.
3. Comme les dérivées de f ont toutes la même valeur, les trois contributions portent le facteur ex². On obtient :
4. Au point x = 1, le résultat vaut exactement 76e. Un contrôle indépendant consiste à dériver h‴(x) = (8x³ + 12x)ex² une dernière fois : la règle du produit redonne le même polynôme 16x⁴ + 48x² + 12. La figure récapitule les trois répartitions qui survivent.
En pratique
Pour dériver deux ou trois fois une composition simple, des applications successives des règles de la chaîne et du produit restent souvent plus rapides. Dès que l’ordre augmente, la formule de Faà di Bruno évite les oublis et regroupe les termes de même structure.
Dans un développement en série, on l’emploie lorsque les coefficients cherchés sont les dérivées successives d’une composition. Si les séries de départ sont déjà connues explicitement, composer directement les séries peut être plus économique.
En calcul symbolique, les polynômes de Bell fournissent une organisation réutilisable des termes. Pour une valeur numérique isolée et un ordre modeste, une différentiation automatique ou des dérivations directes peuvent demander moins de préparation.
À ne pas confondre
Règle de la chaîne. Elle donne la dérivée première d’une composition : (f ∘ g)′ = (f′ ∘ g)g′. Si l’ordre demandé est 1, elle suffit ; si l’ordre est supérieur, Faà di Bruno organise toutes les répartitions supplémentaires.
Formule de Leibniz. Elle dérive un produit de deux fonctions, tandis que Faà di Bruno dérive une fonction emboîtée dans une autre. Pour exx², la structure est un produit ; pour ex², c’est une composition.
Limites et pièges
Ordre zéro. La somme affichée est écrite pour n ≥ 1. Au rang n = 0, on revient simplement à la composition f(g(x)) ; il ne faut pas appliquer mécaniquement une somme vide sans annoncer la convention choisie.
Termes nuls. Une partition admissible ne produit pas toujours une contribution non nulle. Dans l’exemple h(x) = ex², toute partition faisant intervenir une part 3 ou 4 appelle g‴ ou g⁽⁴⁾, qui s’annule. Il faut simplifier après avoir recensé les termes, pas supprimer une famille sans vérifier les dérivées.
Plusieurs variables. La formule donnée ici concerne des fonctions d’une variable. Pour des applications entre espaces de dimension supérieure, les dérivées sont multilinéaires et l’ordre des arguments doit être traité explicitement ; la version scalaire ne se transpose pas en remplaçant seulement les symboles.
Pour aller plus loin
La Règle de la chaine permet de repartir du cas n = 1 et d’identifier le mécanisme que la formule généralise.
La partition d'un entier éclaire le classement combinatoire des façons de répartir l’ordre total entre les dérivées de g.
La série entière montre pourquoi connaître toutes les dérivées d’une composition donne accès à ses coefficients de développement.
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