fonction de classe C-infini

Imaginez que l’on zoome sur la courbe d’une fonction, puis que l’on étudie sa pente, la variation de cette pente, et ainsi de suite. Si cette chaîne de dérivations peut continuer sans fin en chaque point du domaine, la fonction est de classe C^∞. Sa courbe ne présente donc ni angle ni rupture de régularité à aucun ordre.

Les polynômes, l’exponentielle et les fonctions trigonométriques sont des exemples familiers sur leurs domaines. Mais une douceur parfaite, même à tous les ordres, ne garantit pas que la fonction soit égale à sa série entière.

Soit une fonction notée f, définie sur un domaine ouvert noté I. Elle est de classe C^∞ sur I lorsque, pour tout entier naturel n, sa dérivée d’ordre n existe en chaque point de I. Cette dérivée est notée f⁽ⁿ⁾. Comme toute fonction dérivable est continue, toutes ces dérivées sont également continues sur I. L’expression « infiniment dérivable » est donc équivalente ici.

Les polynômes, les fonctions exponentielles, trigonométriques et logarithmiques sont C^∞ sur leur domaine de définition. La propriété est conservée lorsque l’on additionne ou multiplie deux fonctions C^∞ définies sur le même domaine. Elle est aussi conservée par composition dès que la composition est définie. Ces stabilités font des fonctions C^∞ une algèbre pour l’addition et la multiplication.

Une fonction analytique, aussi dite de classe C^ω, est C^∞ et coïncide en plus avec une série entière au voisinage de chaque point. La réciproque est fausse : le prolongement par 0 de la fonction exponentielle e^−1/x² fournit en 0 un exemple C^∞ non analytique.

Quatre éléments structurent la notion. Le domaine ouvert I garantit que chaque point possède un voisinage où dériver. La fonction f associe une valeur à chaque point de ce domaine. La suite des dérivées f', f'', puis f⁽ⁿ⁾ décrit des variations d’ordres successifs. Enfin, le quantificateur « pour tout ordre » interdit que cette suite s’arrête après un nombre fini de dérivations.

Chaque dérivée dépend de la précédente : f⁽ⁿ⁺¹⁾ est la dérivée de f⁽ⁿ⁾. Cette chaîne doit être définie en tout point de I, et pas seulement en un point isolé. Le tracé ou l’échelle d’un graphique ne définissent pas la classe C^∞ ; seule l’existence de toute la chaîne sur le domaine la définit. Ces données suffisent à tester la régularité par dérivations successives ou par une formule générale des dérivées.

On considère une fonction g définie sur les nombres réels. Pour tout réel non nul x, sa valeur est e^−1/x² ; en 0, sa valeur est 0. Il faut établir sa régularité en 0, puis la comparer à sa série entière en ce point.

Le graphe associé rend visible l’aplatissement de g au voisinage de 0 : la courbe rejoint l’axe avec une tangence plus forte que n’importe quelle puissance fixée.

1. Hors de 0, l’exponentielle et la composition donnent une fonction C^∞.
2. À chaque dérivation, on obtient e^−1/x² multipliée par un polynôme en 1/x.
3. Supposons, par récurrence, que la dérivée d’ordre n − 1 soit définie en 0 et y vaille 0. Son quotient différentiel en 0 est alors e^−1/x²P(1/x)/x pour x non nul ; il tend vers 0, car l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de 1/x. La dérivée d’ordre n existe donc en 0 et y vaut 0.
4. La même domination montre que son expression hors de 0 tend vers 0 : chaque dérivée est ainsi continue en 0. Par récurrence, g est C^∞ sur les réels et toutes ses dérivées en 0 valent 0.
5. Sa série entière en 0 est donc la série nulle, alors que g(x) est strictement positive dès que x est non nul.

Le contrôle est décisif : la série entière vaut 0 partout où elle converge, mais g(1) = e⁻¹ > 0. La fonction est bien infiniment dérivable sans être analytique en 0.

Pour reconnaître une fonction C^∞, on commence par préciser son domaine. Une formule usuelle suffit souvent : polynômes, exponentielles et fonctions trigonométriques restent C^∞ tant que toutes les opérations sont définies.

Pour une somme, un produit ou une composition, on repère les fonctions composantes et leur domaine commun. Les règles de stabilité évitent alors de recalculer toutes les dérivées une à une. Si la composition sort du domaine de la fonction extérieure, cet argument ne s’applique plus.

Pour une fonction définie par morceaux, le geste change : on étudie séparément le raccord. Il faut contrôler les dérivées de chaque ordre au point de jonction. Le prolongement de e^−1/x² par 0 montre pourquoi vérifier seulement la continuité ou quelques dérivées ne suffit pas.

Fonction C^∞ et fonction analytique. Une fonction analytique coïncide localement avec sa série entière ; une fonction C^∞ possède seulement toutes ses dérivées. Le prolongement par 0 de e^−1/x² tranche : il est C^∞, mais sa série entière en 0 est nulle et ne le représente pas.

Fonction C^∞ et fonction C^k. Pour un entier naturel fixé k, être de classe C^k ne contrôle les dérivées que jusqu’à l’ordre k. La classe C^∞ exige le même contrôle pour tout ordre, sans dernier rang.

Infiniment dérivable et dérivable en un point. Une dérivée isolée ne renseigne pas sur tous les ordres ni sur tout un domaine ouvert. Pour conclure C^∞, chaque dérivée d’ordre n doit exister en chaque point du domaine considéré.

Une formule peut ne pas être définie au point étudié. L’écriture e^−1/x² n’a pas de valeur en x = 0. Pour parler d’une fonction C^∞ en 0, il faut annoncer son prolongement par la valeur 0, puis vérifier toutes les dérivées au raccord.

Le domaine fait partie de l’affirmation. Le logarithme est C^∞ sur son domaine de définition, pas sur l’ensemble des réels. Lorsqu’une formule possède une frontière ou un point exclu, on restreint le domaine ou l’on démontre qu’un prolongement régulier existe.

Quelques dérivées ne prouvent pas la classe C^∞. Le calcul de f', f'' et f''' ne traite que trois ordres. Il faut une formule valable pour tout entier naturel n, une stabilité connue, ou un raisonnement qui se répète sans s’arrêter.

La fonction analytique ajoute l’égalité locale avec une série entière et précise ainsi la frontière mise en évidence par l’exemple en 0.

La série entière donne le langage utilisé pour comparer une fonction à la suite de toutes ses dérivées en un point.

La fonction exponentielle éclaire l’exemple e^−1/x² et fournit une famille fondamentale de fonctions C^∞.