AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Mac Laurin (série de)
La série de Mac Laurin d'une fonction infiniment dérivable f en 0 est le développement en série entière centré en 0 : la somme des termes f^(n)(0)/n! * x^n pour n allant de 0 à l'infini. C'est un cas particulier de la série de Taylor où le point de développement est l'origine. Les séries de Mac Laurin de l'exponentielle, du sinus, du cosinus et de ln(1 + x) sont des références fondamentales en analyse. Une fonction n'est pas nécessairement égale à sa série de Mac Laurin même si elle est infiniment dérivable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la formule générale et le rôle de ses coefficients.
- Calculer cinq termes de la série de l’exponentielle en 1.
- Distinguer série infinie, polynôme tronqué et série de Taylor centrée ailleurs.
- Repérer pourquoi dérivabilité infinie et représentation par la série ne sont pas équivalentes.
En clair
Imaginez que l’on veuille calculer l’exponentielle près de zéro avec seulement des additions et des multiplications. On relève sa valeur en zéro, puis ses dérivées successives au même point. Chaque information fournit un nouveau terme en puissance de x.
En additionnant toujours plus de ces termes, on obtient la série de Mac Laurin. Ses premières sommes donnent des polynômes faciles à calculer. Pour certaines fonctions, ils se rapprochent de la fonction visée ; ce rapprochement doit toutefois être vérifié.
Définition
Soit f une fonction qui possède des dérivées de tout ordre en zéro. Pour chaque entier naturel n, la notation f(n)(0) désigne la dérivée d’ordre n évaluée en zéro, avec f(0)(0) = f(0). La série de Mac Laurin associée à f est la série entière suivante, où n! est la factorielle de n et x la variable :
C’est exactement la série de Taylor dont le centre est l’origine. La formule définit d’abord une série : elle ne garantit ni sa convergence pour une valeur donnée de x, ni l’égalité de sa somme avec f(x). Cette égalité caractérise localement une fonction analytique en zéro. Parmi les séries usuelles figurent celles de l’exponentielle, du sinus et du cosinus. Pour le logarithme, la forme centrée en zéro concerne notamment la fonction x ↦ ln(1 + x), car ln(x) n’est pas définie en zéro.
De quoi c'est fait
Une série de Mac Laurin réunit cinq éléments. Le centre zéro fixe le point où toute l’information est prélevée. Les dérivées successives de la fonction fournissent les coefficients. La factorielle n! normalise le coefficient d’ordre n. La puissance xn porte cet ordre dans le polynôme. Enfin, la somme infinie rassemble tous les termes.
Chaque dérivée doit donc être calculée avant son coefficient, et chaque coefficient multiplie la puissance de même ordre. Pour un entier naturel N, les N + 1 premiers termes construisent un polynôme de degré au plus N, appelé somme partielle. Ces polynômes forment la suite des sommes partielles associée à la série ; son éventuelle convergence vers la fonction est une propriété supplémentaire, dépendante de la fonction et de x.
Un exemple, pas à pas
On cherche une approximation de l’exponentielle en x = 1. Toutes ses dérivées valent 1 en zéro. On conserve les cinq termes d’ordres 0 à 4 et l’on note P4 leur somme.
1. Remplacer x par 1 dans la somme partielle :
2. Écrire les factorielles : 2! = 2, 3! = 6 et 4! = 24. La somme devient 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24.
3. Réduire au même dénominateur :
La valeur de référence est e ≈ 2,71828. L’écart de cette somme partielle est donc d’environ 0,00995.
Un contrôle consiste à ajouter le terme suivant, 1/5! = 1/120. On obtient P5(1) = 163/60 ≈ 2,71667, plus proche de e. La progression des sommes partielles est visible dans la figure associée.
En pratique
Pour approcher une fonction près de zéro, on remplace la série infinie par une somme partielle. Le degré choisi dépend de la précision recherchée et de la distance à zéro. Si cette distance devient grande, un autre centre de Taylor peut fournir une approximation plus efficace.
Pour reconnaître les séries usuelles, on observe les dérivées en zéro. L’exponentielle répète le même coefficient avant division par n!, tandis que sinus et cosinus font alterner signes et termes nuls. Le motif des dérivées évite de recalculer chaque coefficient isolément.
Pour justifier une approximation, constater que les termes diminuent ne suffit pas toujours. On établit d’abord que la série représente bien la fonction sur le domaine considéré, puis on majore le reste après le dernier terme conservé. Sans cette garantie, la somme partielle reste un calcul formel.
À ne pas confondre
Série de Taylor. Elle peut être centrée en un point a quelconque ; la série de Mac Laurin impose a = 0. Un développement en puissances de x − 2 autour de 2 est donc de Taylor, mais pas de Mac Laurin.
Polynôme de Taylor. Il s’arrête à un ordre fixé, alors que la série comporte une infinité de termes. Le polynôme P4 de l’exemple est une somme partielle de la série, non la série entière.
Formule d’Euler–Maclaurin. Elle relie une somme discrète à une intégrale et à des termes correctifs. La présence d’une somme sur des valeurs entières signale cette autre notion ; elle ne développe pas simplement une fonction autour de zéro.
Limites et pièges
Dérivable ne signifie pas analytique. La fonction définie par f(0) = 0 et f(x) = exp(−1/x²) lorsque x ≠ 0 possède en zéro des dérivées de tout ordre, toutes nulles. Sa série de Mac Laurin vaut donc zéro, sans coïncider avec f hors de zéro.
Le domaine de convergence compte. Pour ln(1 + x), la série converge vers la fonction lorsque −1 < x ≤ 1. À x = −1, la fonction n’est pas définie et la série diverge ; au-delà de l’intervalle, il faut changer de développement ou de méthode.
Une troncature n’est pas une identité. Dans l’exemple, 65/24 ≈ 2,70833 n’est pas égal à e. Il faut écrire un signe d’approximation et, selon l’usage, contrôler le reste plutôt que conclure à partir des seules premières décimales.
Pour aller plus loin
développement en série de Taylor — Pour déplacer le centre de zéro vers un point quelconque et comparer les coefficients obtenus.
fonction analytique — Pour préciser la condition qui autorise une fonction à être représentée localement par sa série entière.
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