AnalyseFormule · Glossaire
formule de Maclaurin
La formule de Maclaurin est la formule de Taylor avec reste centrée en 0 : si f est de classe C^n au voisinage de 0 et y admet une dérivée d’ordre n+1, alors, pour x assez proche de 0, f(x) est égale au polynôme de degré n construit avec ses dérivées en 0, augmenté d’un reste de Lagrange faisant intervenir la dérivée d’ordre n+1 en un point entre 0 et x. Elle permet ainsi d’approximer localement f par un polynôme tout en contrôlant l’erreur grâce au reste.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le polynôme avec les dérivées en zéro.
- Vérifier les hypothèses de régularité avant d'appliquer la formule.
- Calculer l'approximation de l'exponentielle à l'ordre 3 et contrôler son erreur.
- Distinguer formule finie, série de Maclaurin et développement limité.
En clair
Autour de zéro, une courbe lisse peut être remplacée par une courbe polynomiale plus maniable. Pour l'exponentielle, on part de 1, puis on ajoute successivement x, x2/2, x3/6, et ainsi de suite.
La formule de Maclaurin organise cette approximation à partir des dérivées prises en 0. Plus on conserve de termes, plus le polynôme reproduit d'informations locales sur la fonction. Le reste indique ce qui n'a pas encore été pris en compte.
Définition
La formule de Maclaurin est le cas de la formule de Taylor dont le centre est 0. Soit n un entier naturel. Pour une fonction f de classe Cn sur un voisinage de 0 et possédant une dérivée d'ordre n + 1 sur ce voisinage, elle décompose la valeur de f en une partie polynomiale et un reste.
Le polynôme de Maclaurin d'ordre n utilise les valeurs en 0 de f et de ses n premières dérivées :
Le symbole k repère l'ordre de dérivation et k! désigne sa factorielle.
Pour chaque nombre x du voisinage, le reste de Lagrange fait intervenir un point cx situé entre 0 et x. Les formules classiques obtenues autour de 0 commencent par ex = 1 + x + x2/2! + …, sin x = x − x3/3! + …, cos x = 1 − x2/2! + … et ln(1 + x) = x − x2/2 + x3/3 − …. Colin Maclaurin a popularisé ce cas au XVIIIe siècle, après les travaux de Brook Taylor.
Le principe
Soit f une fonction de classe Cn sur l'intervalle ouvert ]−h, h[ et possédant une dérivée d'ordre n + 1 sur cet intervalle. Alors, pour tout nombre x de l'intervalle, il existe un réel cx compris entre 0 et x tel que :
La somme est le polynôme de Maclaurin d'ordre n ; le dernier terme est le reste de Lagrange.
Quand l'utiliser
Le centre doit être 0 et la valeur x doit rester dans un intervalle ouvert ]−h, h[ contenu dans le domaine de la fonction. Pour un ordre n, les dérivées jusqu'à l'ordre n doivent être continues au voisinage de 0, et la dérivée d'ordre n + 1 doit y exister. Ces hypothèses donnent une identité avec un reste évalué en un point intermédiaire qui n'est généralement pas connu.
Si la dérivée requise n'existe pas sur tout le segment entre 0 et x, le reste de Lagrange ne peut pas être invoqué. Par exemple, la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : il faut alors employer une autre approximation ou raisonner séparément de chaque côté de 0.
Un exemple, pas à pas
On cherche une approximation de e = e1 par le polynôme de Maclaurin de l'exponentielle à l'ordre 3. Les données sont x = 1, n = 3 et toutes les dérivées de l'exponentielle valent 1 en 0.
1. On remplace les quatre valeurs des dérivées par 1.
2. On calcule les termes : 1, 1, 1/2 et 1/6.
3. On les additionne :
2. On calcule les termes : 1, 1, 1/2 et 1/6.
3. On les additionne :
4. Une valeur numérique de contrôle donne e ≈ 2,7183, soit un écart d'environ 0,0516.
Le reste de Lagrange vaut pour un réel c entre 0 et 1. Comme l'exponentielle croît sur cet intervalle, son module est au plus e/24 ≈ 0,1133. L'écart observé, environ 0,0516, respecte bien cette borne. La figure décompose la somme et situe l'approximation, la valeur de contrôle et la borne.
En pratique
Pour calculer rapidement une valeur près de 0, on remplace une fonction par quelques termes polynomiaux. Si le point est loin de 0, une formule de Taylor centrée plus près du point peut demander moins de termes.
Pour encadrer l'erreur, on borne la dérivée d'ordre suivant sur le segment entre 0 et x. Si cette borne est difficile à obtenir, un reste sous une autre forme peut être plus adapté à l'objectif.
Pour étudier le comportement local d'une fonction, les coefficients révèlent ses premières variations autour de 0. Lorsqu'une équivalence locale suffit, un développement limité peut être plus direct qu'une borne explicite du reste.
À ne pas confondre
Formule de Taylor. Elle peut être centrée en un réel a quelconque, tandis que Maclaurin impose a = 0. Un développement autour de 2 relève donc de Taylor, pas de Maclaurin.
Série de Maclaurin. La formule à l'ordre n est une identité finie avec un reste. La série est une somme infinie ; elle représente la fonction seulement lorsque la suite des restes tend vers 0 dans le domaine considéré.
Développement limité. Il décrit l'erreur par rapport à une puissance de x, sans nécessairement fournir un point intermédiaire. La présence du terme avec f(n+1)(cx) signale ici le reste de Lagrange.
Limites et pièges
Le point intermédiaire n'est pas une donnée calculée. La formule affirme l'existence de cx entre 0 et x, mais ne l'identifie pas. Pour obtenir une erreur exploitable, il faut borner la dérivée d'ordre n + 1 sur tout ce segment.
Un terme de plus ne garantit pas partout une meilleure approximation. La formule est locale et sa qualité dépend à la fois de x, de l'ordre et de la taille des dérivées. Il faut comparer une borne du reste à la précision recherchée.
À l'ordre 0, le reste compte déjà. Le polynôme se réduit à f(0), et la formule fait intervenir la première dérivée en un point intermédiaire. Omettre ce terme transforme une identité en approximation non justifiée.
Une série formelle n'est pas automatiquement la fonction. Même si toutes les dérivées en 0 existent, il reste à montrer que le reste tend vers 0 avant de remplacer la fonction par la somme infinie.
Pour aller plus loin
La formule de Taylor replace le même mécanisme autour d'un centre quelconque au lieu de 0.
Les développements limités montrent comment exprimer une approximation locale et l'ordre de son erreur.
La série entière prolonge la somme polynomiale vers une infinité de termes et pose la question de la convergence.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres