AnalyseFormule · Glossaire
formule de Leibniz
La formule de Leibniz pour la dérivée d'un produit généralise la règle de dérivation usuelle au calcul de la dérivée d'ordre n d'un produit de deux fonctions. Soit n un entier naturel, I un intervalle réel, et f et g deux fonctions définies sur I et dérivables n fois. Le produit f · g est alors lui aussi dérivable n fois sur I, et sa dérivée d'ordre n est donnée par : , où désigne le coefficient binomial « k parmi n », f^{(k)} la dérivée d'ordre k de f et g^{(n-k)} la dérivée d'ordre n-k de g. Cette formule est structurellement analogue à la formule du binôme de Newton, avec les dérivées jouant le rôle des puissances. Pour n = 1, elle se réduit à la règle classique (fg)' = f'g + fg'. Elle est particulièrement utile pour calculer les dérivées d'ordre élevé sans effectuer de dérivations successives explicites.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire chaque terme et chaque coefficient de la formule de Leibniz.
- Calculer la dérivée troisième de x²eˣ sans dériver trois fois le produit entier.
- Vérifier les hypothèses de dérivabilité avant d’appliquer l’identité.
- Distinguer cette formule des règles de Leibniz sur les intégrales et les déterminants.
En clair
Dériver trois fois un produit comme x2ex oblige normalement à reprendre plusieurs fois la règle du produit. À chaque tour, la dérivation peut porter sur le premier facteur ou sur le second.
La formule de Leibniz rassemble d’un coup tous ces choix. Pour une dérivée troisième, elle attribue aux quatre répartitions possibles les coefficients 1, 3, 3 et 1. On dérive donc chaque facteur au bon nombre de reprises, puis on additionne les quatre contributions.
Définition
La formule de Leibniz donne directement la dérivée d’ordre élevé d’un produit de deux fonctions. On fixe un entier naturel n. Sur un même intervalle réel, les fonctions f et g doivent posséder toutes leurs dérivées jusqu’à l’ordre n. La notation f(k) désigne la dérivée d’ordre k de f, avec f(0) = f ; la même convention vaut pour g.
Pour chaque entier k compris entre 0 et n, le coefficient C(n, k) compte les façons de choisir les k dérivations qui portent sur f parmi les n dérivations totales. La formule est : .
Les coefficients sont ceux du binôme de Newton : . Pour n = 1, les coefficients valent 1 et 1, ce qui redonne (fg)′ = f′g + fg′. Pour n = 0, la somme contient seulement le produit fg.
Le principe
Soit n un entier naturel. Si deux fonctions f et g sont dérivables n fois sur un intervalle réel, alors leur produit est dérivable n fois sur cet intervalle.
Dans le terme d’indice k, le premier facteur est dérivé k fois et le second n − k fois. Le coefficient binomial compte le nombre de chemins de dérivation qui conduisent à cette même répartition.
Quand l'utiliser
L’ordre n doit être un entier naturel, et les deux facteurs doivent être définis sur le même intervalle. Il faut pouvoir dériver chacun d’eux jusqu’à l’ordre n en tout point où l’identité est employée. Ces hypothèses garantissent alors l’existence de la dérivée d’ordre n du produit.
Prenons f(x) = |x| et g(x) = 1 sur un intervalle contenant 0. La fonction f n’est pas dérivable en 0 : dès n = 1, la formule ne peut donc pas y être appliquée. Il faut dériver séparément sur les intervalles où x est négatif ou positif, puis étudier le point 0 directement.
Un exemple, pas à pas
Calculons la dérivée troisième du produit h(x) = x2ex. La formule de Leibniz permet d’obtenir le résultat sans dériver trois fois l’expression entière.
Données
Le premier facteur est f(x) = x2 : f′(x) = 2x, f″(x) = 2 et f‴(x) = 0. Le second est g(x) = ex, dont toutes les dérivées valent ex. L’ordre demandé est n = 3, avec les coefficients 1, 3, 3 et 1.
Calcul
1. Pour k = 0 : 1 × x2 × ex = x2ex.
2. Pour k = 1 : 3 × 2x × ex = 6xex.
3. Pour k = 2 : 3 × 2 × ex = 6ex.
4. Pour k = 3 : 1 × 0 × ex = 0.
2. Pour k = 1 : 3 × 2x × ex = 6xex.
3. Pour k = 2 : 3 × 2 × ex = 6ex.
4. Pour k = 3 : 1 × 0 × ex = 0.
En additionnant, on obtient . Un contrôle par dérivations successives donne h′(x) = ex(x2 + 2x), puis h″(x) = ex(x2 + 4x + 2), et enfin le même résultat. En x = 0, les quatre contributions totalisent 6.
En pratique
Pour une dérivée d’ordre 1 ou 2, les dérivations successives restent souvent les plus rapides. Quand l’ordre augmente, écrivez plutôt la ligne correspondante des coefficients binomiaux, puis associez chaque coefficient à une répartition des dérivées entre les deux facteurs.
Si l’un des facteurs est un polynôme, ses dérivées finissent par s’annuler. Dans x2ex, tous les termes contenant f(k) avec k ≥ 3 sont nuls : on peut les supprimer dès que ce seuil est repéré.
Pour contrôler un calcul, vérifiez d’abord les cas n = 0 et n = 1, puis évaluez les deux expressions en une valeur simple comme x = 0. Si les résultats diffèrent, recherchez un coefficient binomial oublié ou un ordre de dérivation mal réparti.
À ne pas confondre
Formule de Leibniz pour un produit et règle de Leibniz sous le signe intégral. Ici, l’objet à dériver est un produit de deux fonctions. Si la question porte sur la dérivée d’une intégrale dépendant d’un paramètre, il s’agit d’une autre règle portant le même nom.
Dérivée d’un produit et formule de Leibniz pour un déterminant. La présence de deux fonctions, de dérivées successives et d’un ordre n caractérise la formule étudiée ici. Une matrice, un déterminant et des permutations signalent une autre formule de Leibniz.
Formule de Leibniz et binôme de Newton. Les deux utilisent les mêmes coefficients binomiaux. Le binôme développe des puissances d’une somme ; la formule de Leibniz répartit des dérivations entre les facteurs d’un produit.
Limites et pièges
Le cas charnière est l’ordre zéro. Pour n = 0, la somme possède un seul terme et donne simplement fg. Oublier les conventions f(0) = f et g(0) = g fait disparaître à tort les deux termes extrêmes lorsque n est positif.
Les hypothèses sont suffisantes, pas toujours nécessaires. Les fonctions |x| et |x| ne sont pas dérivables en 0, mais leur produit vaut x2 et possède des dérivées de tout ordre. La formule ne s’applique pas aux facteurs en 0 ; il faut étudier directement le produit.
Un grand coefficient ne donne pas à lui seul la taille du résultat. Les termes peuvent avoir des signes opposés et se compenser. Il faut additionner les contributions complètes avant de conclure sur la valeur ou le signe de la dérivée.
L’indice doit rester cohérent. Le coefficient C(n, k) choisit k dérivations parmi n. Remplacer simultanément k par n − k ne change pas la somme, mais modifier l’ordre d’un seul facteur produit des termes incorrects.
Pour aller plus loin
binôme de Newton — Pour retrouver l’origine des coefficients binomiaux et la structure commune aux deux formules.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres