wronskien

Prenons deux fonctions et observons, au même endroit, leur valeur puis leur pente. Ces quatre nombres forment une petite matrice. Son déterminant est le wronskien à cet endroit.

Un résultat non nul prouve que les deux fonctions ne peuvent pas être des copies obtenues par une combinaison linéaire fixe. Avec davantage de fonctions, on ajoute autant de lignes de dérivées que nécessaire. Le wronskien condense ainsi plusieurs comparaisons en un seul nombre dépendant du point choisi.

Soient n fonctions f₁, …, f_n définies sur un même intervalle et dérivables au moins n − 1 fois. À chaque point x, on place leurs valeurs sur la première ligne d’une matrice carrée, leurs dérivées premières sur la deuxième, puis leurs dérivées successives jusqu’à l’ordre n − 1. Le wronskien est le déterminant de cette matrice :

Si ce déterminant est non nul en au moins un point de l’intervalle, donc s’il n’est pas identiquement nul, les fonctions sont linéairement indépendantes. La réciproque est fausse pour des fonctions dérivables quelconques. En revanche, pour n solutions d’une même équation différentielle linéaire homogène d’ordre n, mise sous forme normalisée sur un intervalle où ses coefficients sont continus, l’identité d’Abel impose une alternative : leur wronskien est partout nul ou ne s’annule nulle part. Dans ce cadre, tester un seul point suffit. Le nom rend hommage à Josef Hoëné Wronski (1776-1853), officier polonais devenu philosophe et mathématicien, établi définitivement en France sous le Directoire après des études de droit, de philosophie et de mathématiques.

Considérons les deux solutions y₁(x) = e^x et y₂(x) = e^−x de l’équation y″ − y = 0. On veut vérifier qu’elles sont linéairement indépendantes sur ℝ.

Données. La dérivée de y₁ vaut e^x, tandis que celle de y₂ vaut −e^−x. Pour deux fonctions, la matrice wronskienne comporte leurs valeurs puis leurs dérivées.

2. Lire le résultat. Le wronskien vaut −2 pour tout réel x. Il n’est donc pas identiquement nul, ce qui prouve l’indépendance linéaire des deux solutions.

3. Contrôler au point x = 0. La matrice devient formée des lignes (1, 1) et (1, −1), de déterminant −2. Si a y₁ + b y₂ était la fonction nulle, sa valeur et sa dérivée en 0 donneraient a + b = 0 et a − b = 0. On retrouve a = b = 0.

Pour construire la solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène, on calcule le wronskien de solutions candidates. Une valeur non nulle en un point certifie qu’elles forment une famille indépendante ; on peut alors chercher à compléter une base de l’espace des solutions si leur nombre est insuffisant.

Pour vérifier rapidement deux fonctions explicites, on compare leurs valeurs et leurs dérivées au même point. Si le déterminant obtenu est non nul, ce test remplace la recherche directe de toutes les combinaisons linéaires possibles.

Pour des fonctions quelconques, un wronskien nul ne suffit pas à conclure. Il faut alors revenir à la définition de l’indépendance linéaire. Pour des solutions d’une même équation linéaire sous les hypothèses de l’identité d’Abel, le wronskien donne au contraire un critère dans les deux sens.

Le wronskien ressemble à d’autres déterminants de dérivées, mais la nature de ses colonnes et la question posée permettent de les distinguer.

Le wronskien aligne des fonctions d’une même variable et leurs dérivées successives pour tester leur indépendance. Le déterminant jacobien rassemble les dérivées partielles d’une application de plusieurs variables et mesure son comportement local. Pour y₁ = e^x et y₂ = e^−x, le calcul à une variable est un wronskien.

Le déterminant de Gram est construit avec des produits scalaires et teste des vecteurs dans un espace muni de cette structure. Le wronskien utilise des dérivées et ne demande aucun produit scalaire. Si les données sont des valeurs de fonctions et de leurs dérivées en x, c’est le wronskien qu’il faut former.

Le sens d’interprétation du wronskien dépend fortement des hypothèses. Trois pièges concentrent l’essentiel des erreurs.

Pour f(x) = x² et g(x) = x³, le wronskien vaut x⁴. Il s’annule en 0, mais il est non nul ailleurs : les fonctions restent indépendantes. Il faut tester si le wronskien est identiquement nul, et non s’il possède un zéro.

Sur l’intervalle ]−1, 1[, les fonctions f(x) = x² et g(x) = x|x| sont dérivables et linéairement indépendantes, alors que leur wronskien est nul partout. Devant ce symptôme, il faut tester directement les combinaisons linéaires, sauf si les fonctions sont solutions d’une même équation différentielle linéaire dans le cadre de l’identité d’Abel.

Avec n fonctions, la dernière ligne exige des dérivées d’ordre n − 1. Si l’une d’elles n’existe pas au point considéré, le wronskien n’y est pas défini. Il faut restreindre l’intervalle à une zone de régularité commune ou employer directement la définition de l’indépendance linéaire.

L’identité d’Abel approfondit le rôle du wronskien pour les équations différentielles linéaires : elle fournit une équation vérifiée par ce déterminant à partir du coefficient de la dérivée d’ordre n − 1. Elle explique pourquoi, sur un intervalle où les coefficients sont continus, le wronskien d’une famille de solutions ne peut pas s’annuler en un point isolé : il est soit identiquement nul, soit partout non nul. Ce prolongement relie le calcul d’un déterminant à la structure globale de l’espace des solutions.