AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Matrice fondamentale
Sur un intervalle où la matrice de coefficients A(t) est continue, la matrice fondamentale d'un système différentiel linéaire homogène du premier ordre est une matrice dont les colonnes forment un système fondamental de solutions, c'est-à-dire un ensemble de n solutions linéairement indépendantes. La solution générale du système s'exprime comme la matrice fondamentale multipliée par un vecteur constant. Le wronskien de la matrice fondamentale est non nul, garantissant l'indépendance linéaire des solutions sur cet intervalle. L'exponentielle de matrice fournit une matrice fondamentale pour les systèmes à coefficients constants.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les colonnes et le wronskien d'une matrice fondamentale.
- Exprimer la solution générale à l'aide d'un vecteur constant.
- Vérifier pas à pas une matrice fondamentale diagonale.
- Distinguer la matrice fondamentale de la matrice de coefficients et d'une solution isolée.
En clair
Imaginez un point dont deux coordonnées évoluent ensemble au fil du temps. Une solution décrit un mouvement possible à partir d'une position initiale. Une matrice fondamentale rassemble assez de mouvements indépendants pour reconstruire tous les autres.
Chaque colonne est elle-même une solution. En choisissant des coefficients constants, puis en combinant les colonnes, on obtient la trajectoire correspondant à la position de départ voulue. Le déterminant non nul garantit qu'aucune direction utile n'a été perdue.
Définition
On considère, sur un intervalle où A est continue, un système différentiel linéaire homogène du premier ordre. Le vecteur inconnu X dépend du temps t, et la matrice A(t) décrit les coefficients du système : . Une matrice fondamentale Φ(t) est une matrice carrée dont chaque colonne est une solution du système et dont les colonnes sont linéairement indépendantes sur l'intervalle considéré. Elle vérifie donc :
Le déterminant de Φ est son wronskien. Sa non-nullité rend la matrice inversible et permet d'écrire toute solution sous la forme , où c est un vecteur constant. Une autre matrice fondamentale s'obtient en multipliant Φ à droite par une matrice constante inversible. Pour un système à matrice constante A, l'exponentielle de matrice fournit la matrice fondamentale , normalisée par la matrice identité au temps 0. Dans l'exemple diagonal de la fiche, au temps ln 2, le carré unité devient un rectangle de côtés 2 et 1/2 ; son aire reste 1, comme le déterminant.
De quoi c'est fait
Une matrice fondamentale réunit quatre éléments liés. Dans le cadre usuel où A est continue sur l'intervalle étudié, le système fixe la matrice de coefficients A(t). Les colonnes de Φ(t) sont des solutions vectorielles de ce même système. Leur indépendance linéaire assure qu'elles forment une base de solutions. Le wronskien, égal au déterminant de Φ(t), teste cette indépendance : il doit rester non nul sur cet intervalle.
Le nombre de colonnes est égal à la dimension du système. Les colonnes déterminent le wronskien, tandis que leur combinaison avec un vecteur constant détermine une solution particulière. Ces données suffisent à construire la solution générale. Une normalisation telle que , où t0 est l'instant initial et I la matrice identité, choisit une matrice fondamentale précise parmi toutes celles possibles ; elle ne fait pas partie de la définition générale.
Un exemple, pas à pas
On étudie deux fonctions, x(t) et y(t), avec les données suivantes : le système est x′(t) = x(t) et y′(t) = −y(t) ; la position initiale est x(0) = 3 et y(0) = 2.
1. Résolvez séparément les deux équations. Les vecteurs colonnes et sont deux solutions indépendantes.
2. Assemblez ces colonnes :
3. Contrôlez l'indépendance. Le wronskien vaut ; il n'est jamais nul.
4. Utilisez la position initiale. Comme Φ(0) est la matrice identité, le vecteur constant vaut . La solution cherchée est donc :
5. Vérifiez le résultat : en dérivant, on retrouve x′ = x et y′ = −y ; au temps 0, les valeurs sont bien 3 et 2. Au temps ln 2, Φ a pour diagonale 2 et 1/2, avec un déterminant égal à 1.
En pratique
Pour résoudre plusieurs problèmes initiaux associés au même système, on calcule une matrice fondamentale une seule fois. Chaque nouvelle condition initiale ne demande alors que de déterminer le vecteur constant qui combine ses colonnes.
Avec des coefficients constants, l'exponentielle de matrice est le choix naturel, car elle donne directement une matrice fondamentale normalisée au temps 0. Si une matrice fondamentale est déjà connue sous une autre normalisation, une multiplication par une matrice constante inversible suffit pour l'adapter.
Pour contrôler un ensemble de fonctions candidates, on vérifie d'abord que chacune résout le système, puis on les place en colonnes et on calcule leur déterminant. Une fois cette vérification faite, un déterminant non nul valide la matrice fondamentale ; un déterminant nul signale qu'il faut chercher une autre solution indépendante.
À ne pas confondre
La matrice de coefficients A(t) définit le système, tandis que la matrice fondamentale Φ(t) rassemble des solutions. Dans l'exemple, A a pour diagonale 1 et −1, alors que Φ(t) a pour diagonale et et e−t.
Une solution vectorielle est une seule trajectoire. Une matrice fondamentale en contient autant de colonnes indépendantes que la dimension du système. Le vecteur de l'exemple ayant pour coordonnées 3et et 2e−t est une solution, pas une matrice fondamentale.
Le wronskien est le déterminant de la matrice formée par les solutions ; ce n'est pas la matrice elle-même. Ici, Φ(t) est une matrice 2 × 2, tandis que son wronskien est le nombre 1.
Limites et pièges
Des colonnes qui résolvent toutes le système ne suffisent pas. Si leur déterminant vaut 0, elles sont liées et la matrice ne peut pas engendrer toutes les solutions. Il faut remplacer au moins une colonne par une solution indépendante.
Une matrice fondamentale n'est pas unique. Multiplier Φ(t) à droite par une matrice constante inversible change la base de solutions sans changer l'ensemble des solutions obtenues. En revanche, une matrice constante singulière ferait tomber le wronskien à 0.
La formule etA concerne directement le cas où A est constante. Lorsque les coefficients dépendent du temps, écrire cette même expression sans vérifier le système peut être faux ; il faut construire une matrice qui satisfait réellement Φ′(t) = A(t)Φ(t).
La condition Φ(0) = I est une normalisation pratique, non une obligation. Si l'instant initial est t0, on peut imposer Φ(t0) = I. Dans le cadre usuel où A est continue sur l'intervalle considéré, une matrice non normalisée reste fondamentale si ses colonnes sont des solutions du système et si son wronskien ne s'annule pas sur cet intervalle.
Pour aller plus loin
Le wronskien approfondit le critère qui certifie l'indépendance des solutions réunies en colonnes.
L'Exponentielle d'une matrice montre l'outil qui construit une matrice fondamentale lorsque les coefficients du système sont constants.
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