Système différentiel linéaire

Suivons deux quantités qui évoluent ensemble. La première peut dépendre de sa propre valeur et de la seconde ; la seconde suit aussi une règle de variation. Un système différentiel rassemble ces évolutions dans un même calcul.

Il est dit linéaire lorsque les quantités inconnues sont seulement multipliées par des coefficients puis additionnées. Une matrice range ces coefficients. Connaître toutes les quantités à un instant initial permet alors, sous les hypothèses usuelles de continuité, de déterminer leur évolution commune.

Sur un intervalle I, le temps est noté t. Le vecteur inconnu x(t) possède n composantes, la matrice carrée A(t) contient n × n coefficients et le vecteur b(t) contient n composantes connues. Le système différentiel linéaire s'écrit :

Lorsque les coefficients de A et les composantes de b sont continus sur I, une condition initiale x(t₀) = x₀ détermine une unique solution sur I. Si b est nul, le système est homogène : ses solutions sur I forment un espace vectoriel de dimension n. Si b n'est pas nul, l'ensemble des solutions est en général un espace affine, obtenu en ajoutant une solution particulière aux solutions homogènes. Une matrice fondamentale Φ(t) du système homogène permet d'écrire ces solutions sous la forme x(t) = Φ(t)c, où c est un vecteur constant. Quand A est constante, on peut prendre Φ(t) = exp((t − t₀)A). Pour un second membre continu et A constante, la variation des constantes ajoute l'intégrale de exp((t − s)A)b(s) entre t₀ et t.

Le vecteur d'état x(t). Ses n composantes sont les fonctions inconnues. Les équations sont couplées lorsque la dérivée d'une composante dépend d'une autre, mais leur structure permet parfois de les résoudre successivement ou de les découpler par un changement de variables.

La matrice A(t). Sa ligne i indique comment toutes les composantes de x contribuent à la dérivée de la composante i. Un coefficient hors diagonale traduit donc un couplage entre deux composantes.

Le second membre b(t). Il représente une contribution connue, indépendante de x. Sa nullité distingue le système homogène du système avec forçage.

La condition initiale. Le vecteur x(t₀) fixe une solution parmi toutes celles que l'équation autorise. Avec la continuité de A et de b sur l'intervalle étudié, ces données suffisent à poser un problème de Cauchy et à calculer une trajectoire unique.

On cherche deux fonctions réelles x₁ et x₂ pour t ≥ 0. Les données sont x₁(0) = 0, x₂(0) = 2 et un second membre nul. Le système est :

1. Mettre le système sous forme matricielle. Pour le vecteur x(t) = (x₁(t), x₂(t)), la matrice constante est :

2. Calculer l'exponentielle. Écrivons A = −I + N, avec :Comme N² = 0, la série s'arrête après le terme en N :

3. Appliquer la condition initiale. Le produit de exp(tA) par le vecteur (0, 2) donne :À t = 1, les deux composantes valent exactement 2/e.

Le tracé des deux composantes montre leur rencontre à t = 1 : x₂ décroît dès l'origine, tandis que x₁ augmente d'abord sous l'effet du couplage puis décroît.

4. Contrôler. La dérivée de 2e^−t vaut −2e^−t. Celle de 2te^−t vaut 2e^−t − 2te^−t, soit −x₁(t) + x₂(t). Les deux équations et les valeurs initiales sont donc vérifiées.

Pour prévoir plusieurs quantités couplées près d'un régime où les relations sont linéaires, on rassemble leurs coefficients dans A et les apports connus dans b. Si les relations dépendent fortement des quantités elles-mêmes, un système non linéaire est plus fidèle.

Avec une matrice constante connue exactement, l'exponentielle de matrice donne une expression globale de l'évolution. Une diagonalisation simplifie ce calcul lorsqu'il existe assez de vecteurs propres ; une forme de Jordan traite aussi certains cas non diagonalisables.

Lorsque A(t) varie avec le temps ou que les données sont numériques, on peut calculer une matrice fondamentale ou intégrer le système pas à pas. Le choix dépend alors de ce qui est observable : formule exploitable, coefficients variables ou besoin d'une approximation contrôlée.

Une équation différentielle linéaire scalaire. Elle ne comporte qu'une fonction inconnue. Le système de l'exemple en comporte deux, et le terme x₂ dans la première équation rend leur résolution couplée.

Un système différentiel non linéaire. Dans un système linéaire, les inconnues et leurs produits n'apparaissent qu'au premier degré. Un terme x₁x₂ ou x₁² ferait sortir le système de cette classe.

Une récurrence linéaire. Une récurrence relie des états à des instants discrets, par exemple x_k+1 à x_k. Un système différentiel décrit une variation continue au moyen de dérivées.

La continuité porte sur un intervalle. Si A ou b présente une singularité, l'argument d'existence globale sur le même intervalle ne s'applique plus. Il faut découper le domaine en intervalles où les coefficients sont continus et étudier le passage éventuel par la singularité.

Le système avec second membre n'a pas un espace vectoriel de solutions. Lorsque b n'est pas nul, la somme de deux solutions n'est généralement pas une solution. Il faut parler d'espace affine : une solution particulière plus l'espace des solutions homogènes.

Une matrice variable ne s'exponentie pas comme une constante. Écrire exp de l'intégrale de A(t) n'est valable sans correction que lorsque les matrices A prises à deux instants commutent. Sinon, on construit une matrice fondamentale par une méthode adaptée.

Une valeur propre répétée ne garantit pas la diagonalisation. Dans l'exemple, A possède seulement la valeur propre −1, répétée deux fois, mais un seul vecteur propre indépendant. L'exponentielle reste calculable grâce au terme nilpotent N, qui produit le facteur t.

L'Exponentielle d'une matrice détaille l'objet qui transforme la condition initiale en solution lorsque la matrice A est constante.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz replace l'existence et l'unicité dans le cadre général des problèmes différentiels avec condition initiale.

Le wronskien aide à vérifier l'indépendance de solutions et à reconnaître une matrice fondamentale sur un intervalle.

Le polynôme caractéristique donne les valeurs propres utilisées pour calculer l'exponentielle d'une matrice constante.