Exponentielle d'une matrice

Imaginez deux quantités qui évoluent continuellement, avec une influence croisée possible selon des règles fixes rangées dans une matrice. Au temps t, la matrice exp(tA) transforme leur état de départ en leur état à cet instant ; exp(A) correspond au temps unité.

Elle additionne l'effet immédiat de la matrice, puis ses effets répétés, avec des poids de plus en plus petits. Ce procédé converge toujours pour une matrice carrée et produit une évolution cohérente à tout instant.

Soit A une matrice carrée à coefficients réels ou complexes, et soit I la matrice identité de même taille. L'exponentielle de A est la somme de la série matricielle :

Cette série converge pour toute matrice carrée A. Pour un temps réel t, la matrice exp(tA) est l'unique solution X(t) du problème X′(t) = AX(t) avec X(0) = I. Elle est toujours inversible et son inverse est exp(−tA). Si A est diagonalisable sous la forme A = PDP⁻¹, où D est diagonale, alors exp(A) = P exp(D)P⁻¹ ; il suffit d'exponentier les entrées diagonales de D. Plus généralement, la réduction de Jordan traite les blocs non diagonalisables. Si les matrices A et B commutent, alors l'identité exp(A + B) = exp(A)exp(B) est garantie ; si elles ne commutent pas, on ne peut pas conclure à partir de ce seul fait.

La construction réunit cinq éléments. La matrice carrée A porte la transformation de départ. La matrice identité I fournit le terme d'ordre zéro. Les puissances A^k décrivent k applications successives de A. Le factoriel k! pondère ces répétitions et rend leurs contributions assez petites pour assurer la convergence. Enfin, la somme rassemble tous les ordres.

La taille de I et de chaque puissance dépend de celle de A : sans matrice carrée, les produits successifs ne restent pas dans un même espace. Les coefficients 1/k! dépendent de l'ordre k, pas des entrées de A. Ces données suffisent à définir exp(A), puis exp(tA) lorsque chaque puissance A^k est aussi multipliée par t^k. Une base ou un tracé particulier peut faciliter le calcul, mais ne fait pas partie de la définition.

On étudie un système à deux composantes. La matrice A vaut I + N, où I est l'identité 2 × 2 et où N est définie avec A par l'égalité suivante. Le temps t est réel et l'état initial est le vecteur x₀ = (0, 1).

1. Calculer les puissances utiles. Un produit direct donne N² = 0. La série de exp(tN) s'arrête donc après le terme tN : exp(tN) = I + tN.

2. Séparer les matrices qui commutent. Les matrices tI et tN commutent. On obtient exp(tA) = exp(tI)exp(tN), soit :

3. Appliquer la matrice à l'état initial. La solution du système x′(t) = Ax(t) avec x(0) = x₀ est :

4. Contrôler. À t = 0, le vecteur obtenu est bien (0, 1). En dérivant ses deux composantes, on trouve x′(t) = (e^t + te^t, e^t), exactement égal à Ax(t).

Pour résoudre exactement un système différentiel linéaire à coefficients constants, on calcule exp(tA) puis on l'applique à l'état initial. Si la matrice est diagonalisable, le passage par ses valeurs propres est souvent le chemin le plus court ; sinon, une forme de Jordan ou une autre méthode adaptée prend le relais.

Pour décrire des étapes répétées très courtes, exp(tA) fournit une évolution continue compatible avec la composition des temps : avancer de s puis de t revient à avancer de s + t. Cette propriété sert notamment à étudier la stabilité à partir des valeurs propres de A.

Pour un calcul numérique de grande taille, sommer naïvement beaucoup de puissances est rarement préférable. On choisit un algorithme spécialisé selon la structure de A et selon que l'on veut toute la matrice exp(A) ou seulement son action sur un vecteur.

Exponentielle terme à terme. Exponentier séparément chaque coefficient d'une matrice ne donne généralement pas exp(A). Pour la matrice nulle 2 × 2, l'exponentielle matricielle vaut I, tandis que l'exponentiation terme à terme donnerait une matrice remplie de 1.

Exponentielle du déterminant. exp(A) est une matrice, alors que exp(det A) est un nombre. Le critère est immédiat : la première agit sur des vecteurs et la seconde non. En revanche, le déterminant de exp(A) est relié à la trace de A, pas à son déterminant.

Puissance de matrice. La notation exp(A) désigne une série contenant toutes les puissances entières non négatives de A ; elle n'est ni A^e ni une puissance ordinaire à exposant matriciel. Pour une matrice diagonale, on exponentie ses valeurs diagonales, ce qui permet de vérifier la différence.

La commutation garantit la séparation. Si AB = BA, la formule exp(A + B) = exp(A)exp(B) est garantie. Si AB ≠ BA, elle peut être fausse, mais la non-commutation ne suffit pas à elle seule pour conclure : les termes croisés du développement diffèrent en général, et il faut vérifier l'identité ou employer une formule adaptée.

Une exponentielle est toujours inversible. La valeur zéro n'est jamais une valeur propre de exp(A), puisque exp(−A) en est l'inverse. Ainsi, une matrice singulière donnée ne peut pas être l'exponentielle d'une matrice ; il faut d'abord vérifier son déterminant.

La diagonalisation n'est pas garantie. Dans l'exemple, A possède une seule direction propre indépendante et n'est pas diagonalisable. La nilpotence de N fait pourtant terminer la série utile ; une réduction de Jordan remplace ici la diagonalisation.

Le logarithme inverse n'est pas automatique. Toute exponentielle complexe est inversible, mais retrouver une matrice B telle que exp(B) égale une matrice donnée demande des conditions supplémentaires, surtout sur le corps réel. Il ne faut pas appliquer un logarithme coefficient par coefficient.

La fiche sur la valeur propre précise pourquoi les exponentielles des valeurs propres gouvernent l'évolution portée par exp(tA).

La réduction de Jordan montre comment calculer une fonction de matrice lorsque la diagonalisation échoue.

La notion de matrice nilpotente explique pourquoi la série de l'exemple s'arrête après un nombre fini de termes.

Le système différentiel linéaire replace exp(tA) dans le problème d'évolution dont elle fournit la matrice fondamentale.