Trotter-Kato (formule de)

Imaginez deux transformations que l’on sait effectuer séparément, mais dont on veut observer l’action combinée. On applique d’abord une toute petite part de la première, puis une toute petite part de la seconde. En répétant ce couple d’actions un grand nombre de fois, le résultat se rapproche de l’évolution produite par leur somme.

L’intérêt est concret : le calcul compliqué d’une évolution globale est remplacé par une succession de calculs plus simples. Si les deux transformations ne commutent pas, l’ordre compte à chaque étape, mais l’erreur due au découpage s’atténue lorsque les étapes deviennent très petites.

La formule de Trotter-Kato est une formule de produit. Elle concerne deux opérateurs, notés A et B, ainsi que les évolutions exponentielles qu’ils engendrent. Dans le cas de matrices carrées complexes, ces exponentielles sont toujours définies et la formule s’écrit :

L’entier positif n désigne le nombre de pas. Chaque facteur fait évoluer le système pendant une durée 1/n, et le produit entier répète n fois ce pas partagé. Pour des matrices, la limite est prise pour une norme matricielle. Si A et B commutent, chaque approximation est déjà égale à l’exponentielle de leur somme. Pour des opérateurs non bornés sur un espace fonctionnel, la même écriture n’est pas automatique : A, B et leur somme doivent engendrer des semi-groupes adaptés, et la convergence est généralement comprise vecteur par vecteur.

Soient A et B deux matrices carrées complexes de même taille. Pour tout entier positif n, on forme une alternance élémentaire en calculant d’abord l’exponentielle de A/n, puis celle de B/n, et l’on répète leur produit n fois. Alors :

Le verdict porte sur le produit complet, et non sur un facteur isolé. Inverser systématiquement l’ordre des deux facteurs donne aussi la même limite matricielle, mais les approximations obtenues pour un n fini peuvent différer.

Pour des matrices, A et B doivent être carrées, complexes et de même taille ; leurs exponentielles et celle de leur somme sont alors définies. Le paramètre n parcourt les entiers strictement positifs, et la puissance porte sur tout le produit ordonné. La commutativité n’est pas requise pour la convergence.

Le cadre des opérateurs non bornés exige davantage : les domaines de définition doivent être compatibles, et A, B ainsi qu’une fermeture appropriée de leur somme doivent engendrer les évolutions considérées. Sans ces propriétés, l’exponentielle de A + B peut ne pas définir l’évolution attendue ; il faut alors vérifier un théorème de produit adapté au problème, plutôt que manipuler la formule matricielle formellement.

Considérons deux matrices de taille 2. La matrice A a pour seule entrée non nulle un 1 en haut à droite ; la matrice B a pour seule entrée non nulle un 1 en bas à gauche. Toutes deux ont un carré nul.

1. Comme les carrés de A et B sont nuls, leurs séries exponentielles s’arrêtent après le terme linéaire : $e^{A\mathrm{/}n}=I+A\mathrm{/}ne^\{A/n\}=I+A/n$ et $e^{B\mathrm{/}n}=I+B\mathrm{/}ne^\{B/n\}=I+B/n$, où I est la matrice identité.

2. Pour n = 2, le pas élémentaire puis son carré valent :

3. La somme A + B échange les deux coordonnées. Son exponentielle exacte a cosh(1) sur la diagonale et sinh(1) hors diagonale, soit environ :

Le contrôle consiste à appliquer les matrices au vecteur de coordonnées (1, 0). Les résultats passent de (2 ; 1) pour n = 1 à environ (1,6012 ; 1,1731) pour n = 10, puis tendent vers (1,5431 ; 1,1752), l’image donnée par l’exponentielle exacte.

Pour approcher une exponentielle de matrice, on choisit un nombre de pas n, on calcule séparément les deux petites exponentielles, puis on répète leur produit. On augmente n jusqu’à ce que deux approximations successives diffèrent moins que la précision recherchée.

Dans une équation d’évolution, ce découpage sépare deux mécanismes dont les propagateurs sont plus simples à calculer isolément. Une méthode directe reste préférable si l’exponentielle de la somme est disponible à faible coût ; le produit devient intéressant lorsque chaque sous-évolution se traite efficacement.

En physique quantique, l’alternance peut séparer des contributions distinctes à l’évolution. Le nombre de pas se choisit en contrôlant l’erreur numérique, car une valeur finie de n fournit une approximation et non une identité lorsque les opérateurs ne commutent pas.

La formule ne doit pas être confondue avec l’identité exponentielle valable pour des opérateurs commutants. Si A et B commutent, on a exactement $e^{A+B}=e^A{e}^{B}e^\{A+B\}=e^Ae^B$. Dans l’exemple guidé, les produits AB et BA sont différents : l’égalité à un seul pas échoue, tandis que la limite de Trotter-Kato reste valable.

Elle ne se confond pas non plus avec une simple approximation par série de Taylor. La série tronque les puissances d’une exponentielle ; la formule de produit découpe l’évolution et conserve des exponentielles exactes de A et de B à chaque pas.

Pour n = 1, écrire $e^{A+B}=e^A{e}^{B}e^\{A+B\}=e^Ae^B$ est faux en général. Le symptôme est la non-commutation : dans l’exemple, AB et BA ne coïncident pas. Il faut conserver la limite et contrôler l’erreur pour un n fini.

La position de n est essentielle. L’expression correcte répète n fois le produit des exponentielles à l’échelle 1/n. Mettre seulement chaque facteur à la puissance n supprimerait le découpage alterné et ne décrirait pas la même approximation.

Une convergence lorsque n tend vers l’infini ne fixe pas, à elle seule, la vitesse d’approximation. Pour un calcul numérique, il faut comparer plusieurs valeurs de n ou employer une estimation d’erreur adaptée ; n = 10 n’est pas un seuil universel.

Avec des opérateurs non bornés, les produits peuvent être écrits formellement alors que les domaines ou le semi-groupe associé à la somme posent problème. Le remède est de vérifier les hypothèses du théorème de produit utilisé et le sens précis de la convergence.

La fiche Exponentielle d’une matrice précise l’objet placé au cœur de la formule et les moyens de le calculer dans un cadre fini.

Un prolongement naturel consiste à étudier des découpages symétriques : l’ordre des sous-évolutions y est organisé pour réduire l’erreur à nombre de pas comparable. Dans le cadre infini-dimensionnel, l’autre prolongement majeur est l’étude des semi-groupes et de leurs générateurs, qui donne un sens rigoureux aux équations d’évolution.