AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice nilpotente
Une matrice carrée A est dite nilpotente s'il existe un entier naturel p ≥ 1 tel que la puissance A^p soit égale à la matrice nulle. Le plus petit entier p vérifiant cette condition est appelé l'indice de nilpotence de A. Une matrice nilpotente a nécessairement un déterminant nul et toutes ses valeurs propres sont nulles ; en particulier, elle n'est pas inversible. Sa trace et plus généralement ses polynômes caractéristiques reflètent cette structure : le polynôme caractéristique d'une matrice nilpotente d'ordre n est exactement (−λ)ⁿ. Les matrices nilpotentes jouent un rôle central dans la décomposition de Jordan des matrices.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le critère Aᵖ = 0 et le rôle du plus petit exposant.
- Vérifier pas à pas l’indice 3 d’une matrice nilpotente 3 × 3.
- Relier nilpotence, déterminant, trace, valeurs propres et polynôme caractéristique.
- Éviter de confondre matrice nilpotente, matrice singulière et matrice nulle.
En clair
Imaginez une machine qui décale trois coordonnées : elle transforme (x, y, z) en (y, z, 0). Un deuxième passage donne (z, 0, 0), puis un troisième efface tout et produit (0, 0, 0), quel que soit le point de départ.
La matrice de cette machine est nilpotente : une même transformation répétée finit toujours par devenir la transformation nulle. Le nombre minimal de répétitions nécessaires est son indice de nilpotence.
Définition
Une matrice nilpotente est une matrice carrée, notée A, dont une puissance entière positive est la matrice nulle. Autrement dit, il existe un entier p au moins égal à 1 tel que . Le plus petit entier qui convient est l’indice de nilpotence. Une puissance plus grande s’annule alors également.
La nilpotence impose des propriétés spectrales très fortes. Toutes les valeurs propres de A sont nulles. Son déterminant et sa trace sont donc nuls, et A n’est pas inversible. Pour une matrice d’ordre n, si le polynôme caractéristique est défini par le déterminant de A − λI, où I désigne la matrice identité, il vaut .
Ces conséquences ne remplacent pas le critère qui définit l’objet : il faut qu’une puissance de la matrice entière soit nulle. Cette structure intervient de manière centrale dans la décomposition de Jordan.
De quoi c'est fait
Cinq éléments organisent la notion. La matrice carrée A représente la transformation répétée. Son ordre n fixe le nombre de lignes et de colonnes. Les puissances A², A³, … composent cette transformation avec elle-même. La matrice nulle est le résultat à atteindre. Enfin, l’indice de nilpotence est le premier exposant qui produit ce résultat.
Les coefficients de A déterminent toutes ses puissances, et ces puissances déterminent à leur tour l’indice. Le caractère carré est indispensable pour multiplier A par elle-même sans changer de format. En revanche, l’écriture choisie pour la matrice ne suffit pas à expliquer visuellement la nilpotence : c’est l’annulation effective d’une puissance qui la définit.
Ces données suffisent à calculer les puissances successives, à décider si A est nilpotente et, si elle l’est, à déterminer son indice.
Un exemple, pas à pas
On étudie la transformation qui envoie chaque triplet (x, y, z) sur (y, z, 0). Les données sont les trois coordonnées de départ, la base usuelle et la matrice A associée. Le déplacement successif des coordonnées rend visible ce que calculent les puissances.
1. Une application de A donne . La première coordonnée disparaît et les deux autres se décalent.
2. Une deuxième application donne . Cette transformation n’est pas nulle : avec le triplet (0, 0, 1), le résultat est (1, 0, 0).
3. Une troisième application donne pour tout triplet. Ainsi A³ est la matrice nulle, tandis que A² ne l’est pas. Le plus petit exposant qui annule A est donc 3 : l’indice de nilpotence vaut 3. Ce contrôle distingue bien l’existence d’une puissance nulle de la recherche du premier exposant.
En pratique
Pour tester une matrice carrée explicite, on calcule ses puissances successives. Dès qu’une puissance est nulle, la matrice est nilpotente ; la première puissance nulle donne l’indice. Si les produits restent non nuls, aucun indice n’a encore été établi.
Pour un contrôle rapide, une valeur propre non nulle, une trace non nulle ou un déterminant non nul exclut immédiatement la nilpotence. Lorsque ces trois contrôles donnent zéro, il faut encore revenir aux puissances : ces seuls résultats ne constituent pas le test définissant la notion.
Dans l’étude de la décomposition de Jordan, la nilpotence sert à isoler et décrire la structure qui s’annule par itération. On préfère alors l’indice au seul constat Ap = 0, car le plus petit exposant précise combien d’itérations sont nécessaires.
À ne pas confondre
Matrice singulière. Une matrice nilpotente est toujours singulière, puisque son déterminant est nul. La réciproque est fausse : la matrice diagonale de coefficients 0 et 1 a un déterminant nul, mais toutes ses puissances conservent le coefficient 1.
Matrice nulle. La matrice nulle est bien nilpotente, avec un indice égal à 1. Elle n’est pourtant pas le seul cas : la matrice 3 × 3 de l’exemple est non nulle et son indice vaut 3.
Limites et pièges
Un exposant qui convient n’est pas forcément l’indice. Si A³ = 0, alors A⁴ = 0 également. Il faut contrôler les puissances précédentes ; dans l’exemple, A² ≠ 0 fixe l’indice à 3.
Des invariants nuls ne suffisent pas isolément. Une trace nulle ou un déterminant nul peut apparaître sans nilpotence. Le symptôme trompeur est de conclure dès ce premier calcul ; il faut vérifier l’annulation d’une puissance entière de la matrice.
Le signe du polynôme caractéristique dépend de la convention. Avec det(A − λI), il vaut (−λ)n. Avec det(λI − A), la même information spectrale s’écrit λn. Il faut annoncer la convention avant de comparer deux formules.
L’exposant commence à 1. Le cas p = 1 signifie A = 0 et donne l’indice 1. Un exposant nul ne teste pas la nilpotence, car il produit la matrice identité dans la convention usuelle.
Pour aller plus loin
valeur propre — Pour approfondir pourquoi le spectre d’une matrice nilpotente ne contient que zéro.
polynôme caractéristique — Pour relier le calcul du déterminant à l’identité caractéristique (−λ)n.
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