Floquet (théorème de)

Imaginez un système dont les règles reviennent à l'identique toutes les T secondes, comme un coefficient qui suit un cycle régulier. Au bout de chaque cycle, son état a subi la même transformation. Le théorème de Floquet sépare alors deux effets : une variation globale, qui s'accumule de cycle en cycle, et une oscillation qui se répète.

Les multiplicateurs de Floquet mesurent la variation globale sur un cycle. Dans une direction propre associée, un module inférieur à 1 traduit une contraction ; un module supérieur à 1 traduit une amplification. Pour une direction générale, notamment en présence de blocs de Jordan, le module renseigne le comportement spectral asymptotique, pas à lui seul toute variation de norme sur un cycle.

Le théorème de Floquet concerne un système différentiel linéaire dont la matrice des coefficients A(t) est continue et périodique de période T positive. Une matrice fondamentale X(t) rassemble des solutions linéairement indépendantes. Si elle est normalisée par X(0) = I, où I est la matrice identité, elle vérifie La matrice constante M = X(T) est la matrice de monodromie.

Sur les nombres complexes, la matrice fondamentale admet une décomposition où P(t) est une matrice inversible T-périodique et B une matrice constante. Les valeurs propres de M sont les multiplicateurs de Floquet. Un logarithme de ces valeurs, divisé par T, fournit des exposants de Floquet ; ces exposants ne sont pas uniques, car le logarithme complexe ne l'est pas.

Lorsqu'un multiplicateur possède un vecteur propre, la solution associée prend la forme d'une exponentielle multipliée par un vecteur périodique. Plus généralement, des blocs de Jordan peuvent ajouter des facteurs polynomiaux. Pour la solution nulle, tous les multiplicateurs de module strictement inférieur à 1 garantissent une stabilité asymptotique exponentielle.

Soit le système avec A continue et pour une période T strictement positive. Si X est la matrice fondamentale normalisée par X(0) = I, alors il existe une matrice constante M telle que Sur les nombres complexes, il existe aussi une matrice T-périodique inversible P et une matrice constante B telles que Les valeurs propres de M sont les multiplicateurs de Floquet.

Le cadre est un système linéaire homogène en dimension finie. La matrice A(t) doit être définie pour tout temps considéré, suffisamment régulière pour assurer l'existence et l'unicité des solutions, et T-périodique, au sens où A(t + T) = A(t), pour un nombre T > 0, sans que T soit nécessairement la plus petite période. Il faut aussi choisir une matrice fondamentale ; la normalisation X(0) = I fixe la matrice de monodromie sous la forme M = X(T).

Si le coefficient dérive au fil des cycles, par exemple A(t + T) ≠ A(t), le théorème ne garantit plus qu'une même transformation M décrive tous les passages d'un cycle au suivant, même si cela peut encore arriver dans des cas particuliers. Le théorème de Floquet ne s'applique alors pas tel quel ; il faut étudier l'évolution non périodique ou employer une approximation dont l'erreur est contrôlée. Pour une équation non linéaire, on applique Floquet au système linéarisé autour d'une solution périodique, pas directement à l'équation entière.

Considérons l'équation scalaire avec la condition initiale x(0) = 1. Le coefficient est périodique de période T = 2π. Les données sont donc le coefficient −1 + cos t, la période 2π et la valeur initiale 1.

1. Intégrons le coefficient entre 0 et t :

2. La solution est Le facteur e^{sin t} est 2π-périodique, tandis que e^−t porte la décroissance globale.

3. Après une période, $x(t+2\pi )=e^{-2\pi }x(t)x(t+2\backslash pi)=e^\{-2\backslash pi\}x(t)$. Le multiplicateur de Floquet vaut donc exactement e^−2π, soit environ 0,001867. Son module est strictement inférieur à 1.

4. La courbe du logarithme de la solution rend visibles la baisse globale et l'ondulation périodique qui se superpose à cette baisse.

5. Contrôlons aux instants 0, 2π et 4π : les valeurs sont 1, e^−2π ≈ 0,001867 et e^−4π ≈ 0,000003487. Chaque quotient entre deux valeurs successives vaut e^−2π, ce qui confirme la contraction à chaque cycle.

Pour une vibration ou un circuit dont les paramètres varient périodiquement, on intègre le système sur une seule période, puis on calcule les valeurs propres de la matrice obtenue. Si les coefficients ne se répètent pas exactement, une simulation sur une durée plus longue est préférable.

Pour tester une solution périodique d'un système non linéaire, on linéarise les équations le long de cette trajectoire. Les multiplicateurs indiquent alors si une petite perturbation revient, persiste ou grandit après chaque tour. Une analyse non linéaire reste nécessaire lorsque les multiplicateurs sont sur le cercle unité.

Dans un calcul numérique, on vérifie que la matrice fondamentale part bien de l'identité et que l'instant final correspond exactement à une période. Si les valeurs propres sont très sensibles aux erreurs d'arrondi, on contrôle le résultat avec une précision accrue ou une autre méthode d'intégration.

Solution périodique. Des coefficients T-périodiques n'imposent pas que toutes les solutions aient la période T. Dans l'exemple, le coefficient se répète, mais x(t + 2π) = e^−2πx(t) : la solution non nulle décroît au lieu de se répéter.

Multiplicateur et exposant de Floquet. Le multiplicateur λ mesure l'effet d'une période ; un exposant μ satisfait $e^{\mu T}=\lambda e^\{\backslash mu\; T\}=\backslash lambda$. Dans l'exemple, le multiplicateur est e^−2π et l'exposant réel choisi est −1.

Série de Fourier. Une série de Fourier décompose une fonction périodique en fréquences. La décomposition de Floquet isole plutôt une évolution exponentielle et un facteur périodique ; la présence d'une croissance d'un cycle à l'autre tranche entre les deux objectifs.

Module égal à 1. Si un multiplicateur vérifie |λ| = 1, le seul module ne permet pas de conclure à la stabilité asymptotique. Il faut examiner les blocs de Jordan et, pour un problème non linéaire, les termes d'ordre supérieur.

Monodromie non diagonalisable. Un bloc de Jordan peut produire un facteur polynomial multipliant l'exponentielle. Le raccourci « toute solution est une exponentielle fois une fonction périodique » doit alors être lu au niveau matriciel, sous la forme X(t) = P(t)e^tB, et non solution par solution.

Forme réelle. Une matrice de monodromie réelle inversible n'admet pas toujours un logarithme matriciel réel. La décomposition avec une matrice constante B est toujours disponible après passage aux nombres complexes ; une formulation réelle peut demander une période doublée.

Orbite d'un système autonome. La linéarisation le long d'une orbite périodique non constante possède un multiplicateur 1 dans la direction du mouvement. On étudie la stabilité transversale avec les autres multiplicateurs, au lieu d'exiger qu'ils soient tous strictement inférieurs à 1.

Le glossaire Floquet (multiplicateurs de) approfondit la lecture spectrale de la transformation après une période et son lien direct avec la stabilité.

La fiche valeur propre précise le calcul qui extrait de la matrice de monodromie les facteurs d'amplification ou de contraction.