Floquet (multiplicateurs de)

Imaginez un système dont la règle d'évolution recommence toutes les dix secondes. Pour savoir si une petite perturbation s'efface ou grandit, il suffit de comparer son état au début et à la fin d'un cycle.

Les multiplicateurs de Floquet décrivent les facteurs d'agrandissement des modes propres de cette transformation sur une période. Si elle n'est pas diagonalisable, des blocs de Jordan peuvent en plus produire une croissance polynomiale. Un module inférieur à 1 signale une contraction de cycle en cycle ; un module supérieur à 1 signale une amplification.

On considère le système linéaire x′(t) = A(t)x(t), où le vecteur x(t) décrit l'état au temps t. La matrice A(t) est supposée continue et périodique de période positive T. Une matrice fondamentale X(t) rassemble des solutions linéairement indépendantes ; on la normalise ici par X(0) = I, où I est la matrice identité.

Après une période, l'évolution est donnée par la matrice de monodromie M = X(T), et la périodicité entraîne :Les multiplicateurs de Floquet sont les valeurs propres de M. Un autre choix de matrice fondamentale remplace M par une matrice semblable : ses coefficients peuvent changer, mais pas ses valeurs propres. Le théorème de Floquet exprime aussi X(t) sous la forme suivante, au moins sur le corps complexe :La matrice P(t) porte l'oscillation périodique et l'exponentielle porte l'évolution accumulée.

Pour le système linéaire, si tous les multiplicateurs ont un module strictement inférieur à 1, la solution nulle est asymptotiquement stable. La présence d'un multiplicateur de module supérieur à 1 la rend instable. Lorsque le module maximal vaut exactement 1, les multiplicateurs seuls ne suffisent plus : il faut notamment examiner les blocs de Jordan associés. Pour une orbite périodique d'un système non linéaire, ces multiplicateurs proviennent du système linéarisé le long de l'orbite.

On prend une période T = 2π et un état x(t) à deux composantes. La matrice des coefficients est diagonale, et la matrice fondamentale est normalisée par X(0) = I. Sur une période, les deux directions seront placées par rapport au cercle de module 1.

1. Intégrer chaque coefficient. Entre 0 et t, les deux intégrales valent respectivement −t + 1 − cos t et (t ln 2)/(2π) + sin t.

2. Construire la matrice fondamentale. Comme A(t) est diagonale, on exponentie ces deux intégrales :

3. Parcourir une période. Avec sin(2π) = 0 et cos(2π) = 1, on obtient la matrice de monodromie :

4. Lire et contrôler. Les multiplicateurs sont μ₁ = e^−2π ≈ 0,001867 et μ₂ = 2. La première direction est contractée, la seconde est doublée. Le déterminant de M vaut 2e^−2π, égal au produit des deux multiplicateurs.

Pour tester une évolution périodique connue, on calcule une matrice fondamentale pendant une seule période, puis on diagonalise ou on réduit la matrice de monodromie. Si l'on veut seulement prédire la stabilité, ce calcul remplace l'intégration sur un grand nombre de cycles.

Lorsque la solution sur une période n'a pas de forme fermée, on intègre numériquement le système avec X(0) = I et on lit X(T). Si un multiplicateur calculé est proche du cercle unité, on augmente la précision avant de conclure.

Pour une orbite périodique d'un système non linéaire, on applique la même démarche au système linéarisé le long de l'orbite. Si l'objectif est l'évolution loin de cette orbite, l'analyse locale de Floquet ne suffit pas et il faut étudier le système non linéaire lui-même.

Multiplicateur et exposant de Floquet. Le multiplicateur μ mesure l'effet d'une période ; un exposant λ décrit un taux continu et vérifie $\mu =e^{\lambda T}\backslash mu=e^\{\backslash lambda\; T\}$. Un même multiplicateur complexe admet plusieurs logarithmes, donc plusieurs exposants qui diffèrent d'un multiple de 2πi/T.

Valeur propre instantanée et multiplicateur. Les valeurs propres de A(t) décrivent un taux à l'instant t ; celles de M décrivent l'effet cumulé sur tout un cycle. Dans l'exemple, les coefficients oscillent avec t, tandis que les multiplicateurs sont les deux nombres fixes e^−2π et 2.

Matrice fondamentale et matrice de monodromie. X(t) décrit l'évolution à tout instant ; M ne décrit que le passage d'un début de période au suivant. Avec la normalisation X(0) = I, le test concret est M = X(T).

Le cercle unité est un cas charnière. Un multiplicateur de module 1 ne prouve pas à lui seul la stabilité. Un bloc de Jordan non trivial peut produire une croissance polynomiale de cycle en cycle ; il faut examiner la structure de M sur les sous-espaces concernés.

La période choisie modifie les nombres. Si l'on observe k périodes à la fois, où k est un entier positif, la monodromie devient M^k et les multiplicateurs deviennent μ^k. Leur position à l'intérieur, sur ou à l'extérieur du cercle unité reste cohérente.

La matrice dépend de la base, pas son spectre. Changer la normalisation ou la base des solutions conjugue la matrice de monodromie. Comparer ses coefficients terme à terme peut donc tromper ; il faut comparer ses valeurs propres avec leurs multiplicités.

Une orbite autonome possède une direction neutre. Pour une orbite périodique non stationnaire d'un système autonome, le décalage du point de départ le long de l'orbite fournit normalement un multiplicateur égal à 1. La stabilité orbitale se juge alors sur les directions transverses.

La Matrice fondamentale précise comment rassembler des solutions indépendantes et transporter tout état initial.

La fiche sur la valeur propre détaille le calcul spectral qui extrait les multiplicateurs de la matrice de monodromie.

L'Exponentielle d'une matrice développe le facteur e^tB qui porte la croissance moyenne dans la décomposition de Floquet.

La fiche Asymptotiquement stable (solution d'une équation différentielle) approfondit la convergence des trajectoires voisines lorsque les directions pertinentes se contractent.