AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Cauchy-Lipschitz
Le théorème de Cauchy-Lipschitz répond à une question simple : une règle d’évolution et un état de départ déterminent-ils une seule trajectoire ? Lorsque cette règle est continue et que, localement, elle ne sépare pas trop vite deux états voisins, une solution existe autour de l’instant initial, elle est unique et se prolonge en une solution maximale. La fiche montre comment vérifier ces hypothèses sur une équation différentielle, avant de préciser la portée et les limites du résultat.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses de continuité et de Lipschitz local en la variable d’état.
- Distinguer existence, unicité, maximalité globale et stabilité.
- Vérifier le théorème sur le problème x′ = x avec x(0) = 2.
- Repérer ce qui peut échouer sans condition de Lipschitz.
En clair
Imaginez un mobile dont la vitesse est fixée à chaque instant par le temps et par sa position. Si l’on connaît sa position de départ et si cette règle de vitesse varie sans changement trop brutal, une seule trajectoire peut passer par ce point initial.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit précisément cette existence et cette unicité, au moins autour de l’instant de départ. La solution peut ensuite être prolongée autant que l’équation le permet : on obtient sa solution maximale.
Définition
Pour lire l’énoncé formel, il faut d’abord reconnaître les deux données d’un problème de Cauchy. La relation décrit l’évolution de l’état inconnu x(t) au cours du temps t. La condition fixe l’état x0 à l’instant initial t0.
L’application du théorème repose ensuite sur deux contrôles concernant f : sa continuité et son caractère localement lipschitzien par rapport à l’état x. « Localement lipschitzienne » signifie qu’au voisinage de chaque point, les valeurs de f ne peuvent s’écarter plus vite qu’une constante fois l’écart entre les états.
Le mot « maximale » signifie que la solution ne peut pas être prolongée à un intervalle strictement plus grand tout en conservant l’équation. L’unicité permet ensuite d’affirmer que toute autre solution portant la même donnée initiale en est une restriction. Le résultat est aussi nommé théorème de Picard-Lindelöf. Son énoncé complet précise le cadre, les hypothèses et la conclusion.
Le principe
Soit U un ouvert de ℝ × E, avec E espace de Banach. Si la fonction f : U → E est continue et localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable, uniformément en la première sur un voisinage de chaque point — c’est-à-dire que, près de tout (t0, x0), une même constante de Lipschitz convient pour tous les temps du voisinage considéré —, alors, pour tout (t0, x0) ∈ U, le problème
admet une unique solution maximale. Toute autre solution satisfaisant la même condition initiale coïncide avec elle sur son propre intervalle de définition.
Quand l'utiliser
Le théorème s’applique à une équation différentielle du premier ordre écrite sous la forme x′ = f(t, x), avec une donnée initiale située dans l’ouvert U. La fonction f doit être continue en ses variables. Elle doit surtout être localement lipschitzienne en x, uniformément en t : près de tout point (t0, x0), il existe un voisinage I de t0, un voisinage V de x0 et une constante L indépendante de t tels que pour tout t ∈ I et tous x, y ∈ V, avec I × V ⊂ U.
Si cette dernière condition échoue, l’unicité peut disparaître. Par exemple, l’équation x′ = 2√|x| avec x(0) = 0 possède la solution nulle, mais aussi des solutions qui restent nulles un temps avant de démarrer. En dimension finie, le théorème de Cauchy-Peano, ou théorème de Peano, assure encore une existence locale sous la seule hypothèse de continuité ; dans un espace de Banach général, la continuité seule ne suffit même pas toujours à l’existence.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’équation x′(t) = x(t) avec la condition initiale x(0) = 2. Les données sont la fonction f(t, x) = x, l’instant initial 0 et la valeur initiale 2.
1. La fonction f est continue sur ℝ².
2. Pour deux états x et y, on a |f(t, x) − f(t, y)| = |x − y|. Elle est donc lipschitzienne en x avec la constante L = 1.
3. Le théorème garantit une unique solution maximale issue de 2 à l’instant 0.
4. La candidate est . Sa dérivée vaut 2et, donc elle vérifie bien x′ = x, et x(0) = 2.
2. Pour deux états x et y, on a |f(t, x) − f(t, y)| = |x − y|. Elle est donc lipschitzienne en x avec la constante L = 1.
3. Le théorème garantit une unique solution maximale issue de 2 à l’instant 0.
4. La candidate est . Sa dérivée vaut 2et, donc elle vérifie bien x′ = x, et x(0) = 2.
La formule est définie pour tout réel t : la solution maximale est donc globale, sur ℝ. Un contrôle refaisable consiste à prendre t = ln 2 : on obtient x(ln 2) = 4, tandis que la dérivée au même instant vaut également 4. La courbe illustre cette évolution unique issue du point initial.
En pratique
Pour valider un modèle d’évolution, on vérifie d’abord la continuité de la loi f, puis son caractère localement lipschitzien par rapport à l’état. Une dérivée partielle continue par rapport à l’état fournit souvent ce contrôle local.
Pour résoudre numériquement un problème initial, l’unicité identifie une seule solution cible. La convergence des approximations vers cette trajectoire doit ensuite être démontrée dans le cadre théorique propre à la méthode : lorsqu’un théorème adapté s’applique, la consistance et les hypothèses de stabilité pertinentes peuvent notamment suffire à l’établir.
Pour prévoir une évolution physique, le théorème formalise le déterminisme : un état initial exact fixe une trajectoire unique. Si des états initiaux très proches s’éloignent rapidement, on étudie plutôt la sensibilité et la stabilité ; l’unicité reste vraie sans rendre la prévision facile.
À ne pas confondre
Existence et unicité. L’existence affirme qu’au moins une solution passe par la donnée initiale ; l’unicité affirme qu’il n’en passe qu’une. Pour x′ = 2√|x| et x(0) = 0, il existe des solutions, mais elles ne sont pas uniques.
Solution maximale et solution globale. Une solution maximale ne peut plus être prolongée tout en restant solution dans le domaine considéré. Elle est globale seulement si son intervalle couvre tout le domaine temporel visé. La solution x(t) = 2et est à la fois maximale et globale sur ℝ.
Unicité et stabilité. L’unicité interdit deux trajectoires distinctes pour exactement la même donnée initiale. La stabilité mesure l’effet de données initiales proches. Une évolution peut donc être unique tout en étant très sensible aux conditions initiales.
Limites et pièges
La continuité n’assure pas l’unicité. Le symptôme est la présence de plusieurs trajectoires issues du même point, comme pour x′ = 2√|x| en 0. Il faut vérifier une hypothèse de Lipschitz ou employer un critère d’unicité adapté.
Locale ne signifie pas globale. Le théorème construit d’abord une solution autour de t0. Si la solution atteint le bord de U ou devient non bornée en temps fini, son intervalle maximal peut être limité ; il faut étudier son prolongement.
Le cadre de Banach exige de la prudence. Dans un espace de Banach de dimension infinie, la continuité seule de f ne garantit pas en général l’existence locale. Le recours au théorème de Peano doit donc préciser un cadre de dimension finie ou des hypothèses supplémentaires.
Déterminisme ne signifie pas prédiction parfaite. Une trajectoire unique peut dépendre fortement de l’état initial. Lorsque de petites erreurs de mesure produisent de grands écarts, il faut quantifier cette sensibilité au lieu de conclure que l’unicité suffit à prévoir longtemps.
Pour aller plus loin
Solution maximale — Précise comment l’intervalle de définition distingue une solution simplement locale d’une solution impossible à prolonger.
Des équations différentielles en oncologie — Montre comment des équations différentielles décrivent une évolution dans un contexte appliqué.
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