Solution maximale
Pour une équation différentielle ordinaire, une solution définie sur un intervalle I est maximale s'il n'existe aucune solution définie sur un intervalle contenant strictement I qui la prolonge. Elle représente donc la même trajectoire poursuivie aussi loin que l'équation le permet. Si le second membre est continu et localement lipschitzien par rapport à la variable dépendante, le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit une unique solution maximale pour chaque condition initiale admissible.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le prolongement d'une solution sur un intervalle plus grand.
- Calculer l'intervalle maximal de u(t) = 1/(1 − t) pour u′ = u² et u(0) = 1.
- Vérifier l'équation, la condition initiale et l'obstacle au temps t = 1.
- Distinguer solution maximale, solution locale et solution globale.
- Identifier l'effet de l'hypothèse locale de Lipschitz sur l'unicité.
En clair
Une courbe solution peut parfois continuer vers la gauche et vers la droite, comme une route que l'on prolonge. Tant que l'équation reste satisfaite, le trajet n'est pas terminé. La solution devient maximale lorsque son intervalle de temps est le plus grand possible pour ce trajet précis.
Pour l'équation u′ = u² avec la valeur initiale u(0) = 1, la solution grandit sans borne à l'approche de t = 1. Elle ne peut donc pas franchir cet instant comme solution réelle, même si elle est parfaitement définie avant.
Définition
On considère une équation différentielle ordinaire dont la variable indépendante est t, l'inconnue est la fonction u et le second membre est f. Une solution est un couple formé d'un intervalle I et d'une fonction u définie sur I qui satisfait l'équation en chaque point de I.
Cette solution est maximale s'il n'existe pas d'intervalle J contenant strictement I et de solution v définie sur J telle que v coïncide avec u sur tout I. Le mot qualifie donc le domaine de prolongement du même trajet solution, pas la taille des valeurs prises par u. L'intervalle I est alors appelé intervalle maximal d'existence.
Pour une condition initiale fixant la valeur de u à un instant donné, le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence et l'unicité d'une solution maximale lorsque le second membre est continu et localement lipschitzien par rapport à u sur son domaine. Toute solution locale issue de cette même condition initiale est alors la restriction de cette unique solution maximale.
Un exemple, pas à pas
On cherche la solution qui passe par la valeur 1 à l'instant 0.
Données : l'équation est u′ = u² ; la condition initiale est u(0) = 1 ; la variable de temps t est réelle.
Données : l'équation est u′ = u² ; la condition initiale est u(0) = 1 ; la variable de temps t est réelle.
1. Comme u(0) = 1, la continuité permet de travailler au voisinage de 0 là où u ne s'annule pas. On divise alors u′ = u² par u² : . En intégrant, on obtient . La condition u(0) = 1 impose C = −1, donc , ce qui fournit l'expression candidate.
2. En t = 0, cette expression vaut bien 1. Sa dérivée est 1/(1 − t)2, exactement comme son carré : elle satisfait donc l'équation partout où son dénominateur ne s'annule pas.
3. Le dénominateur s'annule en t = 1. L'intervalle contenant 0 sur lequel l'expression reste définie est donc I = ]−∞, 1[.
4. Quand t s'approche de 1 par valeurs inférieures, u(t) grandit sans borne. Une fonction réelle dérivable sur un intervalle contenant 1 ne peut pas coïncider avec elle avant 1 : le prolongement est impossible. La solution est donc maximale sur ]−∞, 1[, mais elle n'est pas globale sur ℝ. Le contrôle se refait avec u(0) = 1, u(1/2) = 2 et u(3/4) = 4.
En pratique
Dans un problème de Cauchy, on commence par trouver une solution autour de l'instant initial. On cherche ensuite jusqu'où cette même solution se prolonge. Si l'on ne s'intéresse qu'à un court intervalle inclus dans le domaine obtenu, une solution locale suffit.
Sous les hypothèses usuelles d'existence, d'unicité et de prolongement, on recherche notamment les instants où l'expression cesse d'exister, où la solution devient non bornée ou où le second membre de l'équation n'est plus défini. Ces signaux guident l'étude ; pour conclure sur l'intervalle maximal, il faut appliquer un théorème de prolongement adapté au domaine et aux hypothèses sur f. Dans l'exemple u′ = u², le signal d'arrêt est l'annulation de 1 − t en t = 1.
En calcul numérique, des pas de plus en plus petits ou des valeurs qui croissent rapidement peuvent annoncer une singularité. Cet arrêt de l'algorithme ne prouve toutefois pas la maximalité ; il faut revenir à l'équation et à son domaine. Une solution globale est le bon objectif lorsque le modèle doit rester valable pour tout temps réel.
À ne pas confondre
Solution maximale et solution globale. Une solution maximale ne possède aucun prolongement strict, tandis qu'une solution globale est définie sur tout le domaine temporel considéré, souvent ℝ. La solution u(t) = 1/(1 − t) sur ]−∞, 1[ est maximale pour u′ = u² et u(0) = 1, mais elle n'est pas globale.
Solution maximale et solution locale. Une solution locale est simplement définie autour de l'instant initial ; elle peut encore être prolongée. La restriction de u(t) = 1/(1 − t) à ]−1/2, 1/2[ est locale et non maximale, car la même formule reste solution sur ]−∞, 1[.
Maximale et maximum. « Maximale » ne signifie pas que u atteint une plus grande valeur que les autres solutions. Le critère testable est l'impossibilité d'agrandir son intervalle tout en conservant la même solution. Dans l'exemple, u n'a justement aucun maximum fini avant t = 1.
Limites et pièges
Explosion en temps fini. Une solution peut être maximale sans être globale. Pour u′ = u² et u(0) = 1, les valeurs 2 en t = 1/2 puis 4 en t = 3/4 annoncent la croissance, et u(t) devient non bornée lorsque t tend vers 1 par la gauche. Il faut retenir ]−∞, 1[, pas ajouter artificiellement le point 1.
Bord du domaine de l'équation. L'absence d'explosion ne suffit pas toujours à autoriser un prolongement. Si le second membre n'est plus défini au-delà d'un bord, l'équation elle-même cesse d'avoir un sens. Il faut donc examiner à la fois les valeurs de la solution et le domaine de f.
Défaut d'unicité. Sans l'hypothèse locale de Lipschitz, plusieurs solutions maximales peuvent passer par la même condition initiale. Le symptôme est une bifurcation de trajets qui coïncident d'abord. Il ne faut alors pas parler de « la » solution maximale sans avoir établi l'unicité.
Intervalle choisi trop tôt. Résoudre seulement sur [0, 1/2] ne rend pas la solution maximale. Le test consiste à chercher une extension des deux côtés qui conserve l'équation et les valeurs déjà obtenues. Pour l'exemple conducteur, l'extension s'arrête seulement au seuil t = 1 vers la droite.
Pour aller plus loin
Le théorème de Cauchy-Lipschitz précise les hypothèses qui assurent l'existence locale, l'unicité et le raccordement vers une solution maximale.
Le problème de Cauchy replace la condition initiale au cœur de la recherche d'une trajectoire solution particulière.
L'article Des équations différentielles en oncologie montre pourquoi le domaine temporel d'une solution importe dans un modèle appliqué.
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