AnalyseNotion · Glossaire
problème de Cauchy
Un problème de Cauchy est un problème d'analyse qui consiste à déterminer une solution d'une équation différentielle ordinaire (ou aux dérivées partielles) satisfaisant une condition initiale donnée. Plus précisément, il s'agit de trouver une fonction qui vérifie à la fois l'équation différentielle sur un certain domaine et une valeur prescrite en un point initial (ou sur une surface initiale dans le cas des équations aux dérivées partielles). L'existence et l'unicité de la solution sont garanties, sous certaines hypothèses de régularité, par des théorèmes fondamentaux comme le théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles ordinaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une équation différentielle et une condition initiale dans une formulation précise.
- Résoudre et vérifier le problème y′ = 2y avec y(0) = 3.
- Comprendre le rôle des hypothèses de Cauchy-Lipschitz dans l’unicité locale.
- Distinguer problème de Cauchy, équation seule et problème aux limites.
- Repérer une non-unicité ou une explosion en temps fini.
En clair
À l’instant 0, une quantité vaut 3. On sait aussi que sa vitesse de variation est toujours égale au double de sa valeur. L’équation décrit donc son évolution possible, tandis que la valeur 3 fixe son point de départ.
Réunir ces deux informations forme un problème de Cauchy. Résoudre ce problème, c’est trouver la courbe qui respecte partout la règle d’évolution et qui passe par le point imposé. Sous des conditions adaptées, une seule courbe convient.
Définition
Pour une équation différentielle ordinaire, un problème de Cauchy associe une loi d’évolution et une donnée initiale. Le temps est noté t, l’inconnue est une fonction y, l’instant initial est t0 et la valeur prescrite est y0. La forme usuelle est . Une solution est une fonction définie sur un intervalle contenant t0, dérivable, et qui satisfait simultanément l’équation et la valeur initiale.
L’existence et l’unicité ne sont pas automatiques. Le théorème de Cauchy-Lipschitz fournit une condition suffisante classique : près du point initial, la fonction f est continue par rapport à t et localement lipschitzienne par rapport à la valeur y. Le problème possède alors une solution locale unique, que l’on peut prolonger jusqu’à son intervalle maximal d’existence.
Pour une équation aux dérivées partielles, la même idée subsiste, mais la donnée initiale est prescrite sur une surface plutôt qu’en un seul point. La nature de cette surface et les hypothèses propres à l’équation déterminent alors si le problème est bien posé.
Un exemple, pas à pas
On cherche une fonction y du temps t.
Donnée 1. Sa dérivée vérifie y′(t) = 2y(t).
Donnée 2. Sa valeur initiale est y(0) = 3.
Donnée 3. On travaille pour 0 ≤ t ≤ 1.
Donnée 1. Sa dérivée vérifie y′(t) = 2y(t).
Donnée 2. Sa valeur initiale est y(0) = 3.
Donnée 3. On travaille pour 0 ≤ t ≤ 1.
1. Résoudre la loi d’évolution. Les fonctions dont la dérivée vaut deux fois leur valeur ont la forme , où C est une constante.
2. Appliquer la condition initiale. À t = 0, l’exponentielle vaut 1. L’égalité y(0) = C = 3 fixe donc la constante et sélectionne .
3. Vérifier l’équation. La dérivée est y′(t) = 6e2t, tandis que 2y(t) = 6e2t. Les deux expressions coïncident sur tout l’intervalle.
4. Contrôler le départ et calculer l’arrivée. On retrouve bien y(0) = 3. À t = 1, la valeur est 3e2, soit environ 22,17. La condition initiale a choisi une seule des courbes qui vérifient y′ = 2y.
En pratique
Pour prévoir une évolution à partir d’un état mesuré, on traduit la règle de variation par une équation et la mesure de départ par une condition initiale. Si des valeurs sont imposées à plusieurs endroits plutôt qu’au départ, un problème aux limites est plus adapté.
Quand aucune formule explicite n’est accessible, on calcule une approximation pas à pas depuis la valeur initiale. Avant de choisir une méthode numérique, on contrôle l’existence, l’unicité attendue et l’intervalle où l’approximation doit rester valable.
Pour une équation aux dérivées partielles dépendant du temps, on prescrit un état sur une surface initiale puis on étudie son évolution. Si les informations portent plutôt sur le bord spatial du domaine, il faut formuler des conditions au bord, éventuellement en plus des données initiales.
À ne pas confondre
Une équation différentielle seule. L’équation y′ = 2y admet toute la famille y(t) = Ce2t. Elle devient le problème de Cauchy de l’exemple seulement après l’ajout de y(0) = 3, qui impose C = 3.
Un problème aux limites. Un problème de Cauchy regroupe les données à l’instant ou sur la surface initiale. Des valeurs prescrites à deux extrémités distinctes d’un intervalle constituent au contraire des conditions aux limites ; les critères d’existence et d’unicité changent.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz. Le problème est la question à résoudre ; le théorème donne des hypothèses suffisantes pour obtenir localement une solution unique. Un problème de Cauchy existe comme formulation même lorsque ces hypothèses échouent.
Limites et pièges
Continuité ne signifie pas unicité. Pour y′ = √|y| avec y(0) = 0 et t ≥ 0, la solution peut rester nulle, ou rester nulle jusqu’à un instant a puis suivre (t − a)2/4. Ce choix multiple révèle le défaut de condition lipschitzienne en y = 0 ; il faut étudier séparément les solutions.
Une solution locale peut exploser. Le problème y′ = y2, y(0) = 1 possède la solution y(t) = 1/(1 − t). Elle devient non bornée lorsque t approche 1 et ne se prolonge pas au-delà comme solution réelle finie. Il faut donc annoncer l’intervalle maximal, ici t < 1.
Une formule candidate ne suffit pas. Vérifier seulement y(0) = 3 ne contrôle pas l’équation, et vérifier seulement y′ = 2y ne fixe pas la constante. Le bon contrôle porte sur les deux égalités et sur le domaine annoncé.
Pour une équation aux dérivées partielles, la surface initiale compte. Certaines surfaces peuvent être caractéristiques ou les données incompatibles avec l’équation. Il faut vérifier les hypothèses du résultat adapté à l’équation, plutôt que transposer automatiquement Cauchy-Lipschitz.
Pour aller plus loin
théorème de Cauchy-Lipschitz. Examiner les hypothèses qui assurent l’existence locale et l’unicité d’une solution pour une équation différentielle ordinaire.
champ de vecteurs. Relier la loi y′ = f(t, y) aux directions tangentes qui guident les courbes solutions.
Des équations différentielles en oncologie. Observer un contexte où des lois d’évolution traduisent la dynamique d’un phénomène étudié.
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