théorème de Cauchy-Arzelà

On connaît la position initiale d’un point et une règle qui donne sa vitesse à chaque instant selon sa position. Une question vient avant tout calcul : existe-t-il au moins une trajectoire qui respecte simultanément cette règle et le départ imposé ?

Le théorème de Cauchy-Arzelà répond oui, au moins pendant un petit intervalle autour de l’instant initial, lorsque la règle de vitesse est continue et reste bornée. Il ne promet pas que la trajectoire soit la seule possible.

Le théorème de Cauchy-Arzelà, aussi appelé théorème de Cauchy-Peano ou de Cauchy-Peano-Arzelà, est un résultat d’existence locale pour les équations différentielles ordinaires. Un problème de Cauchy cherche une fonction inconnue x dont la dérivée x′ est imposée par une fonction f, avec une valeur initiale x(t₀) = x₀.

Le cadre est un espace de Banach E de dimension finie. L’état x évolue dans une partie ouverte convexe H de E. Autour de l’état initial x₀, on choisit une boule fermée B(x₀, r) de rayon r incluse dans H. Le temps varie dans l’intervalle I = [t₀ − a, t₀ + a]. La fonction f, définie sur I × H et à valeurs dans E, doit être continue et bornée par un nombre M ≥ 0.

Sous ces hypothèses, il existe au moins une solution à valeurs dans B sur un intervalle fermé centré en t₀. Si M > 0, son demi-intervalle garanti vaut le plus petit de a et r/M ; si M = 0, il vaut a. La continuité suffit ici à l’existence, mais pas à l’unicité : plusieurs solutions peuvent passer par le même état initial.

Soient E un espace de Banach de dimension finie, H une partie ouverte convexe de E et B(x₀, r) la boule fermée de centre x₀ et de rayon r, incluse dans H. Soit I = [t₀ − a, t₀ + a]. Si f : I × H → E est continue et bornée par un nombre M ≥ 0, alors le problème de Cauchy suivant admet au moins une solution à valeurs dans B :

Cette solution est définie sur [t₀ − c, t₀ + c]. Si M > 0, on peut prendre $c=\min (a,\frac{r}{M})c=\backslash min\backslash left(a,\backslash frac\{r\}\{M\}\backslash right)$ ; si M = 0, on prend c = a. La conclusion affirme l’existence, non l’unicité.

Trois vérifications sont décisives. L’espace d’états E doit être de dimension finie. La boule fermée de rayon r centrée en x₀ doit rester dans l’ouvert convexe H. Enfin, la fonction f doit être continue sur I × H et sa norme doit y être majorée par un nombre M ≥ 0. Si M > 0, le rapport r/M est une borne inférieure du temps d’un éventuel contact avec le bord, car la vitesse est au plus M ; ce contact peut ne jamais avoir lieu. Si M = 0, la solution reste constante et le quotient r/M n’est pas utilisé.

Si f présente une discontinuité à l’état initial, le théorème ne donne aucune existence. Par exemple, la règle x′ = 1 lorsque x = 0 et x′ = 0 sinon est discontinue et ne peut produire une solution dérivable issue de x(0) = 0. Il faut alors utiliser un résultat adapté aux seconds membres discontinus, avec ses propres hypothèses.

Considérons l’équation $x^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}x\text{'}=\backslash sqrt\{|x|\}$ avec x(0) = 0. Prenons E = ℝ, H = (−3, 3), la boule B(0, 2) = (−2, 2) et I = [−1, 1]. Sur I × H, la fonction f(t, x) = √|x| est continue et bornée par M = √3. Le graphique représente deux solutions issues du même point initial.

1. Le demi-intervalle garanti estLe théorème assure donc une solution sur tout [−1, 1].

2. La fonction constante x₁(t) = 0 est une solution, car sa dérivée et √|x₁(t)| valent toutes deux 0.

3. Une autre fonction reste nulle jusqu’à l’instant 0, puis démarre :Pour t ≥ 0, sa dérivée vaut t/2 et √x₂(t) vaut aussi t/2. Les dérivées à gauche et à droite en 0 valent 0.

4. Sur [−1, 1], x₂ reste entre 0 et 1/4, donc bien dans B(0, 2). Le contrôle montre deux solutions distinctes : l’existence est acquise, tandis que l’unicité échoue.

Avant de chercher une formule explicite, le théorème sert à établir qu’une trajectoire locale existe. On vérifie la continuité de f, on choisit une boule contenue dans le domaine, puis on majore la norme de f pour obtenir un intervalle garanti.

Si le problème demande aussi une solution unique ou une dépendance contrôlée aux données initiales, la seule continuité ne suffit pas. On recherche alors une condition lipschitzienne en la variable d’état et l’on applique plutôt le théorème de Cauchy-Lipschitz.

L’intervalle fourni est une garantie locale, pas nécessairement la durée maximale de la solution. Après l’avoir obtenu, on peut prolonger la solution tant qu’un théorème de prolongement et le comportement de la trajectoire le permettent.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz ajoute une condition de type Lipschitz sur la dépendance de f en l’état x et conclut à l’existence et à l’unicité locales. Cauchy-Arzelà n’exige que la continuité pour l’existence. Dans l’exemple x′ = √|x|, deux solutions passent par (0, 0) : Cauchy-Arzelà s’applique, mais la conclusion d’unicité ne suit pas.

Existence sans unicité. Deux trajectoires peuvent avoir la même donnée initiale. Le symptôme est une dépendance en x continue mais insuffisamment régulière, comme √|x| près de 0. Il faut vérifier une hypothèse lipschitzienne avant d’affirmer que la solution est unique.

Borne nulle. Si M = 0, alors f est nulle sur le domaine considéré et la solution constante x(t) = x₀ convient sur tout I. Le quotient r/M ne doit pas être calculé ; dans ce cas charnière, on prend directement c = a.

Intervalle garanti trop petit. La valeur c = min(a, r/M) dépend de la boule et de la majoration choisies. Elle fournit une durée sûre, pas la durée maximale. Une solution qui reste dans H au-delà de cet intervalle peut parfois être prolongée, mais cela exige une justification supplémentaire.

Dimension infinie. La version énoncée suppose E de dimension finie. Dans un espace de Banach de dimension infinie, continuité et bornitude de f ne suffisent pas à invoquer ce résultat. Il faut employer un théorème d’existence adapté et vérifier ses hypothèses supplémentaires.

La fiche problème de Cauchy précise le rôle conjoint de l’équation différentielle et de la donnée initiale.

La fiche espace de Banach présente le cadre normé complet dans lequel l’énoncé situe les états.

La fiche théorème de Cauchy-Lipschitz montre quelle régularité supplémentaire assure l’unicité locale de la solution.