AlgèbreNotion · Glossaire
Prolongement d'une solution
Le prolongement d'une solution d'une équation différentielle consiste à étendre cette solution à un intervalle plus grand que son intervalle initial. On l'agrandit tant que la fonction continue de satisfaire l'équation. Si aucun prolongement n'est possible, la solution est maximale. Deux obstacles peuvent l'arrêter : ses valeurs deviennent non bornées — c'est une explosion — ou elle atteint le bord du domaine où l'équation est définie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une solution locale, un prolongement et une solution maximale.
- Identifier les hypothèses utiles d'existence, d'unicité et de prolongement.
- Calculer l'intervalle maximal de la solution de y′ = y² issue de y(0) = 1.
- Séparer une explosion en temps fini de l'atteinte du bord du domaine de f.
En clair
Imaginez une courbe solution tracée seulement entre x = −0,5 et x = 0,5. Si la même courbe continue à satisfaire l'équation avant −0,5 ou après 0,5, on peut agrandir l'intervalle : c'est un prolongement. On recommence tant que l'équation et la courbe le permettent. La solution obtenue sur le plus grand intervalle possible est dite maximale.
Définition
Considérons une équation différentielle ordinaire y′ = f(x, y). Une solution y définie sur un intervalle I admet un prolongement s'il existe un intervalle J contenant strictement I et une solution ỹ sur J qui coïncide avec y en chaque point de I. La solution est maximale lorsqu'aucun tel intervalle J n'existe.
La continuité de la fonction f assure une existence locale sous les hypothèses usuelles, mais elle n'assure pas à elle seule l'unicité. Une hypothèse locale de Lipschitz par rapport à la variable y fournit cette unicité. Dans ce cadre, les solutions locales compatibles se raccordent en une unique solution maximale.
Soit D le domaine ouvert où f est définie. Si l'extrémité droite b de I est finie et si le graphe formé par les points (x, y(x)) reste dans une partie compacte de D lorsque x approche b, la solution se prolonge au-delà de b. Une solution maximale qui s'arrête en temps fini doit donc quitter toute partie compacte de D : elle peut devenir non bornée ou atteindre le bord de D.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'équation y′ = y2 avec la condition initiale y(0) = 1. Une solution est d'abord connue sur l'intervalle I = ]−0,5 ; 0,5[. Le tracé montre sa croissance pour 0 ≤ x ≤ 0,9 et la barrière x = 1.
1. Lorsque y ne s'annule pas, on sépare les variables puis on intègre :
2. La condition y(0) = 1 donne C = −1. On obtient donc :
3. Cette formule satisfait l'équation pour tout x différent de 1. Elle prolonge la solution initiale de I à l'intervalle plus grand J = ]−∞ ; 1[.
4. Quand x tend vers 1 par valeurs inférieures, y(x) tend vers +∞. Aucune valeur finie ne permet de poursuivre la courbe en x = 1 : J est l'intervalle maximal contenant 0. Pour contrôler le calcul, la dérivée 1/(1 − x)2 est bien égale au carré de y(x), et y(0) vaut bien 1.
En pratique
Dans un calcul exact, on cherche d'abord l'intervalle où la formule obtenue reste définie et satisfait l'équation. Pour y(x) = 1/(1 − x), le dénominateur nul en x = 1 fixe une borne que la solution issue de x = 0 ne peut franchir.
Dans une simulation numérique, des valeurs qui grandissent rapidement à mesure que le pas diminue peuvent signaler une explosion. On compare alors plusieurs pas de calcul et on recherche un critère théorique ; une simple erreur du logiciel ne prouve pas que la solution cesse d'exister.
Pour un modèle, la question du prolongement détermine jusqu'à quand une trajectoire mathématique reste disponible. Si la fonction f cesse d'être définie au bord du domaine, il faut examiner ce bord plutôt que conclure automatiquement à une croissance infinie.
À ne pas confondre
Le prolongement par continuité d'une fonction attribue une valeur à un point manquant lorsque la fonction y admet une limite finie. Le prolongement d'une solution exige davantage : la fonction prolongée doit encore satisfaire l'équation différentielle. La fonction 1/(1 − x) n'a ainsi aucun prolongement continu en x = 1.
Un prolongement analytique étend une fonction analytique en préservant son développement local. Ici, le critère est d'être solution de la même équation. Une solution d'EDO peut être prolongeable sous des hypothèses qui ne la rendent pas analytique.
Limites et pièges
Continuité sans unicité. Si f est seulement continue, des solutions locales peuvent exister sans être uniques. Il faut alors parler d'un prolongement possible, et non d'une unique courbe imposée ; une condition locale de Lipschitz en y lève ce doute.
Borne finie sans explosion. Une solution peut atteindre le bord du domaine de f tout en restant bornée. Dans ce cas, l'obstacle vient de l'équation non définie au point limite. Il faut examiner le domaine D avant d'affirmer que la norme de y tend vers l'infini.
Explosion dans l'exemple. Pour y′ = y2 et y(0) = 1, la valeur charnière est exactement x = 1. La solution tend vers +∞ à gauche de cette borne ; arrêter un calcul à x = 0,9 ne signifie donc pas que cet intervalle est maximal.
Maximale ne signifie pas globale. Une solution maximale est seulement impossible à étendre davantage. Elle est globale si son intervalle maximal couvre tout l'axe des temps ; la solution 1/(1 − x) issue de 0 est maximale sur ]−∞ ; 1[, mais pas globale sur ℝ.
Pour aller plus loin
Solution maximale — Situer précisément le prolongement qui ne peut plus être agrandi et le distinguer d'une solution simplement locale.
Explosion en temps fini — Approfondir le mécanisme par lequel une solution devient non bornée à l'approche d'une borne finie.
problème de Cauchy — Relier l'équation et la condition initiale qui sélectionnent la solution à prolonger.
théorème de Cauchy-Lipschitz — Examiner les hypothèses d'existence et d'unicité qui fondent le raccordement des solutions locales.
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