Système fondamental de solutions

Imaginez une équation dont les solutions sont des courbes. Au lieu de chercher chaque courbe séparément, on en choisit quelques-unes qui servent de briques de base. Pour une équation d'ordre deux, deux solutions bien choisies suffisent : en les multipliant par des nombres puis en les additionnant, on obtient toutes les autres solutions.

Ces briques doivent être indépendantes : aucune ne doit pouvoir être reconstruite à partir des autres. Leur famille forme alors un système fondamental de solutions.

Sur un intervalle où les coefficients de l'équation sont continus et le coefficient du terme de plus haut ordre ne s'annule pas, l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre n est un espace vectoriel de dimension n. Un système fondamental est une famille ordonnée de n solutions, notées y₁, …, y_n, qui constitue une base de cet espace.

La condition de base signifie que toute solution y s'écrit d'une manière unique à l'aide de constantes C₁, …, C_n : $y=C_1{y}_1+\cdots +C_n{y}_{n}y=C\_1y\_1+\backslash cdots+C\_ny\_n$. Le wronskien est le déterminant de la matrice formée par ces fonctions et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n − 1. La formule de Liouville-Ostrogradski implique que, pour des solutions de la même équation sur cet intervalle, ce déterminant est soit nul partout, soit non nul partout. Dans le second cas, les solutions sont linéairement indépendantes.

Lorsque les coefficients sont constants, les racines du polynôme caractéristique guident la construction. La forme des solutions de base dépend alors de la nature et de la multiplicité de ces racines.

Un système fondamental réunit quatre éléments liés. L'équation homogène fixe l'espace des solutions. Son ordre n fixe le nombre de fonctions nécessaires. Les fonctions y₁, …, y_n doivent chacune satisfaire l'équation. Enfin, leur wronskien contrôle leur indépendance : il compare, en un même point, leurs valeurs et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n − 1.

Pour l'ordre deux, chaque solution fournit au point choisi une paire formée de sa valeur et de sa dérivée. Deux paires non colinéaires donnent un déterminant non nul, comme dans la figure. Cette indépendance, jointe au bon nombre de solutions, suffit à reconstruire toute solution et à déterminer ses coefficients à partir de données initiales. Le tracé ou la couleur des courbes ne fait pas partie de la définition.

Considérons l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=0y\text{'}\text{'}-3y\text{'}+2y=0$. Elle est linéaire, homogène, d'ordre deux et à coefficients constants. On cherche donc deux solutions indépendantes.

1. Le polynôme caractéristique est $r^2-3r+2r^2-3r+2$.
2. Sa factorisation $(r-1)(r-2)(r-1)(r-2)$ donne les deux racines distinctes 1 et 2.
3. Les fonctions obtenues sont y₁(x) = e^x et y₂(x) = e^2x.
4. Leur wronskien vaut $W(x)=e^x(2e^{2x})-e^{2x}{e}^x=e^{3x}W(x)=e^x(2e^\{2x\})-e^\{2x\}e^x=e^\{3x\}$.

Comme e^3x est non nul pour tout nombre réel x, les deux solutions sont indépendantes et forment un système fondamental sur ℝ. Toute solution s'écrit $y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}y(x)=C\_1e^x+C\_2e^\{2x\}$. Pour contrôler le résultat, on dérive deux fois cette expression puis on vérifie que $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=0y\text{'}\text{'}-3y\text{'}+2y=0$.

Pour résoudre une équation homogène à coefficients constants, on calcule d'abord son polynôme caractéristique. Ses racines indiquent des solutions candidates. On vérifie ensuite qu'elles sont assez nombreuses et indépendantes.

Pour satisfaire des conditions initiales, on écrit la solution comme combinaison du système fondamental. Les valeurs imposées à la fonction et à ses dérivées donnent alors un système linéaire pour les constantes.

Si les coefficients ne sont pas constants, le polynôme caractéristique n'est plus l'outil adapté. Il faut construire les solutions par une autre méthode, puis contrôler leur indépendance avec le wronskien ou avec leurs données initiales.

Un système fondamental de solutions n'est pas une solution générale. Le premier est une famille de fonctions indépendantes ; la seconde est l'ensemble de leurs combinaisons linéaires. Dans l'exemple, {e^x, e^2x} est le système fondamental, tandis que $C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}C\_1e^x+C\_2e^\{2x\}$ décrit la solution générale.

Le wronskien n'est pas le système fondamental. C'est un déterminant utilisé pour tester l'indépendance d'une famille de solutions. Deux familles différentes peuvent donc être deux systèmes fondamentaux de la même équation.

Le polynôme caractéristique n'est pas non plus une famille de solutions. Pour une équation à coefficients constants, ses racines servent à construire des fonctions candidates ; celles-ci doivent ensuite former une base de l'espace des solutions.

Un wronskien nul en un point ne suffit pas, pour des fonctions quelconques, à conclure qu'elles sont liées. La dichotomie « nul partout ou non nul partout » s'applique ici à des solutions d'une même équation linéaire homogène, sur un intervalle où les hypothèses de régularité assurent la formule de Liouville-Ostrogradski.

Une famille contenant n solutions n'est pas automatiquement fondamentale. Si son wronskien est identiquement nul, elle est liée et ne peut pas engendrer toutes les solutions de façon unique. Il faut remplacer au moins une fonction par une solution indépendante.

Une racine multiple du polynôme caractéristique ne fournit pas plusieurs copies de la même exponentielle. Ces copies seraient liées. La multiplicité impose des solutions supplémentaires adaptées ; ignorer ce point produit un wronskien nul.

Le système fondamental dépend de l'intervalle étudié et n'est jamais unique. En revanche, deux systèmes fondamentaux d'une même équation sur le même intervalle engendrent exactement le même espace de solutions.

Le wronskien détaille le déterminant qui certifie l'indépendance des solutions et éclaire le rôle de la formule de Liouville-Ostrogradski.

Le polynôme caractéristique prolonge la méthode de construction lorsque l'équation différentielle possède des coefficients constants.