AnalyseObjet mathématique · Glossaire
équation linéaire d'Euler
L'équation linéaire d'Euler est une équation différentielle linéaire à coefficients non constants, de la forme : aₙ xⁿ y⁽ⁿ⁾(x) + aₙ₋₁ xⁿ⁻¹ y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + … + a₀ y(x) = f(x), avec aₙ ≠ 0. Sa caractéristique est que le coefficient devant la dérivée d'ordre k est proportionnel à xᵏ. Par le changement de variable x = eᵗ (ou t = ln x), cette équation se ramène à une équation différentielle linéaire à coefficients constants, dont la résolution est plus classique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître l’accord entre l’ordre d’une dérivée et la puissance de x qui la multiplie.
- Transformer une équation linéaire d’Euler en équation à coefficients constants.
- Résoudre et contrôler un exemple homogène du second ordre.
- Choisir correctement le logarithme sur un intervalle positif ou négatif.
En clair
Imaginez une équation où la place occupée par la variable change aussi le poids de chaque dérivée. Dans l’exemple , le coefficient de la dérivée seconde grandit comme le carré de x, tandis que celui de la dérivée première grandit comme x.
Le logarithme sert alors de changement d’échelle. En posant t égal au logarithme de x, ces puissances de x sont absorbées par les dérivées. L’équation obtenue a des coefficients constants et se traite avec les méthodes habituelles.
Définition
Une équation linéaire d’Euler, aussi appelée ici équation d’Euler, est une équation différentielle linéaire dont les coefficients suivent les puissances de la variable. La variable indépendante est notée x, la fonction inconnue est y, et f représente le second membre. Pour un ordre entier n au moins égal à 1, sa forme générale est :
Les nombres a0, …, an sont constants et le coefficient an est non nul. L’étude se fait sur un intervalle où x ne s’annule pas. Sur x strictement positif, on pose et . Sur x strictement négatif, le même mécanisme utilise . Chaque terme devient alors une combinaison de dérivées de u à coefficients constants. Si f est nul, l’équation est homogène ; sinon, son second membre est lui aussi exprimé dans la nouvelle variable.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent l’équation. La fonction inconnue y et ses dérivées portent l’information à déterminer. La variable x fournit les facteurs 1, x, x2, jusqu’à xn. Les constantes a0, …, an pondèrent ces termes, avec an non nul pour conserver l’ordre n. Enfin, le second membre f décrit une éventuelle sollicitation extérieure.
La dépendance décisive associe la dérivée d’ordre k à la puissance xk. C’est elle, et non le tracé d’une solution particulière, qui définit la structure d’Euler. Grâce à cette correspondance, l’opérateur devient une dérivation par rapport à t après le changement logarithmique. Les coefficients constants obtenus suffisent ensuite à construire l’équation caractéristique de la partie homogène.
Un exemple, pas à pas
On cherche les solutions sur x strictement positif de l’équation . Les données sont les coefficients 1, −3 et 4, ainsi qu’un second membre nul.
1. Posons et appelons u la fonction définie par .
2. Les dérivées se transforment selon et .
3. Après substitution, l’équation devient :
4. Pour une solution exponentielle de paramètre r, l’équation caractéristique est . Elle possède la racine double 2.
5. Avec deux constantes arbitraires C1 et C2, on obtient , puis :
Le changement logarithmique relie ainsi l’équation à coefficients variables, l’équation à coefficients constants et sa famille de solutions.
Contrôle : pour , on a et . Leur substitution donne exactement zéro.
En pratique
On reconnaît d’abord la structure en comparant l’ordre des dérivées et les puissances de x. Si la dérivée d’ordre k est multipliée par xk, le changement logarithmique est adapté. Si les coefficients sont déjà constants, la méthode classique directe est plus courte.
On choisit ensuite un intervalle qui ne contient pas zéro. Sur les valeurs positives de x, on utilise le logarithme de x. Sur les valeurs négatives, on utilise le logarithme de sa valeur absolue. Ce choix évite d’appliquer le logarithme réel hors de son domaine.
Pour une équation homogène, l’équation caractéristique fournit directement la famille de solutions après retour à x. Avec un second membre non nul, on transforme aussi ce second membre, puis on applique une méthode adaptée aux équations linéaires à coefficients constants.
À ne pas confondre
Équation d’Euler–Lagrange. Elle exprime une condition vérifiée par les extremums d’une fonctionnelle. La présence de dérivées partielles d’un lagrangien la distingue d’une équation linéaire d’Euler ; l’équation relève de la seconde.
Équations d’Euler en mécanique des fluides. Elles forment un système décrivant notamment l’évolution d’un fluide sans viscosité. Des inconnues comme la vitesse et la pression signalent ce contexte, sans rapport avec l’alignement entre ordre des dérivées et puissances de x.
Équation différentielle à coefficients constants. Ses coefficients ne dépendent pas de la variable dès le départ. Une équation linéaire d’Euler possède au contraire des facteurs en puissances de x ; elle ne devient à coefficients constants qu’après le changement de variable logarithmique.
Limites et pièges
Le point zéro est singulier. Pour une équation d’ordre au moins 1, le coefficient du terme de plus haut ordre contient xn et s’annule en x égal à zéro. La transformation logarithmique n’y est pas définie. Il faut résoudre séparément sur des intervalles positifs ou négatifs et étudier à part un éventuel prolongement en zéro.
Le logarithme dépend du côté choisi. Écrire seulement suppose que x est positif. Sur un intervalle négatif, le symptôme est immédiat : le logarithme réel de x n’existe pas. On remplace alors cette expression par .
Le second membre ne devient pas nécessairement constant. Les coefficients des dérivées deviennent constants, mais la fonction f est composée avec l’exponentielle. Sur le demi-axe positif, elle devient . Il faut donc traiter cette nouvelle fonction, et non résoudre seulement l’équation homogène.
Pour aller plus loin
L’article Des équations différentielles en oncologie montre comment des équations différentielles servent à modéliser une évolution dans un contexte appliqué.
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