théorème d'Euler - fonction de plusieurs variables -

Imaginez que l’on agrandisse simultanément toutes les coordonnées d’un point. Pour la fonction f(x, y) = 3x²y + 2y³, doubler x et y multiplie la valeur par 2³, donc par 8. La fonction est dite homogène de degré 3.

Le théorème d’Euler reconnaît ce comportement sans tester tous les agrandissements. Il mesure la variation instantanée dans la direction qui éloigne le point de l’origine. Si cette variation vaut toujours trois fois la valeur de la fonction, l’homogénéité de degré 3 est caractérisée.

Soit f une fonction réelle différentiable de n variables, définie sur un domaine ouvert de ℝⁿ stable par les dilatations positives. Le réel k désigne son degré d’homogénéité. La fonction est homogène de degré k lorsque multiplier toutes ses variables par un même réel positif λ multiplie sa valeur par λ^k.

Le gradient de f rassemble ses n dérivées partielles. Le théorème d’Euler relie alors deux propriétés : la loi de changement d’échelle et le produit scalaire du point avec ce gradient. En notant x = (x₁, …, x_n), l’identité s’écrit :

Sur un tel domaine, chaque implication est valable. Si l’on étend la définition à tous les scalaires réels, les dilatations négatives demandent en plus une règle reliant f(x) et f(−x).

Si une fonction f est différentiable et homogène de degré k pour les dilatations positives, alors, en chaque point x de son domaine, le produit scalaire de x avec le gradient de f vaut k fois f(x). Réciproquement, sur un domaine stable par toute dilatation positive, cette identité impose l’homogénéité de degré k le long de chaque demi-droite issue de l’origine :

Le membre de gauche est la dérivée radiale de f : il décrit la variation obtenue quand toutes les coordonnées changent dans la même proportion.

La fonction doit être différentiable aux points considérés, car l’identité utilise ses dérivées partielles. Son domaine doit contenir, avec chaque point x, les points λx pour les valeurs positives de λ nécessaires à la comparaison. Le degré k doit être le même sur tout le domaine étudié.

Un domaine qui coupe une demi-droite en morceaux séparés bloque la réciproque globale : l’identité différentielle ne relie alors que les points d’un même morceau. De même, vérifier l’identité en un point isolé ne prouve rien sur toute la fonction. Il faut la vérifier sur le domaine entier, ou revenir directement à la loi f(λx) = λ^kf(x).

Considérons f(x, y) = 3x²y + 2y³. Les données sont deux variables réelles, le point (2, 1) et le degré pressenti k = 3. Chaque monôme a un degré total égal à 3.

1. En remplaçant x et y par λx et λy, chaque terme reçoit le facteur λ³. Ainsi, f(λx, λy) = λ³f(x, y).

2. Les dérivées partielles sont ∂f/∂x = 6xy et ∂f/∂y = 3x² + 6y².

3. L’identité d’Euler donne :

4. Au point (2, 1), f(2, 1) = 14, ∂f/∂x = 12 et ∂f/∂y = 18. Le contrôle se refait directement : 2 × 12 + 1 × 18 = 42, tandis que 3 × 14 = 42. Les deux côtés coïncident.

Pour reconnaître rapidement un polynôme non nul homogène, on additionne les exposants de chaque monôme. Si tous les totaux sont identiques, ce total fournit le degré ; sinon, le polynôme n’est pas homogène sous une dilatation commune. Le polynôme nul est homogène pour tout degré et n’a donc pas de degré unique.

Pour une fonction dont l’homogénéité n’est pas visible, on calcule les dérivées partielles puis la somme x₁∂f/∂x₁ + … + x_n∂f/∂x_n. Si le quotient par f varie avec le point, aucun degré constant k ne convient. Aux zéros de f, on compare directement les deux membres sans former ce quotient.

Dans un problème de changement d’échelle, la loi d’homogénéité est souvent le geste le plus court pour prévoir l’effet d’un facteur λ. L’identité d’Euler devient préférable lorsqu’on connaît les dérivées ou que l’on veut retrouver le degré.

Le théorème d’Euler sur les fonctions homogènes n’est pas le théorème d’Euler en arithmétique. Ici, le test porte sur des dérivées partielles et un changement d’échelle ; en arithmétique, il porte sur des puissances d’entiers et la coprimalité. La présence d’un gradient tranche immédiatement.

Il ne faut pas non plus confondre fonction homogène et fonction linéaire. Toute fonction linéaire est homogène de degré 1, mais x² + y² est homogène de degré 2 sans être linéaire. Le degré de l’échelle, et non l’addition des arguments, sépare les deux notions.

Scalaires négatifs. L’identité d’Euler relie les valeurs le long des dilatations positives. Elle ne force pas à elle seule une parité entre deux demi-droites opposées. Si la définition exige tout λ réel, il faut vérifier séparément la relation pour λ < 0 ; pour un degré entier k, elle impose f(−x) = (−1)^kf(x).

Origine et degré. Pour k < 0, une fonction homogène non nulle ne peut pas admettre de prolongement continu, donc différentiable, à l’origine. Pour k = 0, l’identité devient x · ∇f(x) = 0 : la fonction reste constante sur chaque demi-droite, pas nécessairement sur tout son domaine. Il faut donc contrôler si l’origine appartient réellement au domaine.

Somme de degrés différents. Une expression comme x² + y³ ne possède pas de degré homogène commun. Le symptôme est que x∂f/∂x + y∂f/∂y n’est pas un multiple constant de f. On traite alors séparément les composantes homogènes.

Poids différents. Certaines fonctions obéissent à une homogénéité pondérée, où les variables ne sont pas multipliées par la même puissance de λ. L’identité ordinaire ne convient plus telle quelle ; il faut employer la somme pondérée des dérivées partielles.

La fiche fonction homogène approfondit la loi de changement d’échelle dont le théorème fournit le critère différentiel.

La fiche Dérivée partielle précise le calcul des composantes du gradient utilisées dans l’identité d’Euler.

Un prolongement naturel consiste à étudier l’homogénéité pondérée. Chaque variable reçoit alors son propre poids, et l’identité radiale devient une somme de dérivées partielles affectées de ces poids.