AnalyseMéthode · Glossaire
méthode de la variation de la constante
La méthode de variation de la constante est une technique de résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients variables. Étant donnée une équation de la forme a(x)y' + b(x)y = c(x), sur un intervalle où a ne s'annule pas et où b/a et c/a sont continues, on commence par résoudre l'équation homogène associée (sans second membre). Sa solution générale est de la forme K·e^(f(x)), où K est une constante et f une primitive de −b/a sur cet intervalle. Pour trouver une solution particulière de l'équation complète, on substitue K par une fonction inconnue K(x) — d'où le nom de la méthode —, ce qui permet de déterminer K(x) par une simple intégration. La solution générale de l'équation complète est alors la somme de la solution générale de l'équation homogène et de cette solution particulière. La méthode se généralise aux équations différentielles linéaires d'ordre supérieur.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les conditions d’application à une équation linéaire du premier ordre.
- Passer de la solution homogène y₀ à la fonction variable u.
- Résoudre et vérifier pas à pas l’équation y′ − y = eˣ.
- Repérer les erreurs de dérivation, d’intervalle et de constante arbitraire.
En clair
Imaginez une famille de courbes décrite par une même formule, mais réglée par un nombre constant. Cette famille résout l’équation sans second membre. Pour tenir compte du second membre, on autorise ce réglage à changer avec la variable : la constante devient une fonction.
En remplaçant cette fonction dans l’équation, les termes déjà neutralisés par la solution homogène disparaissent. Il ne reste qu’une dérivée à intégrer. La nouvelle fonction fournit une solution particulière, à laquelle on ajoute toute solution homogène.
Définition
La variation de la constante résout une équation différentielle linéaire du premier ordre. Sur un intervalle où le coefficient a ne s’annule pas, l’équation a(x)y′ + b(x)y = c(x) se normalise en y′ + p(x)y = q(x), avec p(x) = b(x)/a(x) et q(x) = c(x)/a(x). On suppose ici p et q continues sur cet intervalle, puis on résout d’abord l’équation homogène y′ + p(x)y = 0.
Soit y0 une solution homogène qui ne s’annule pas sur l’intervalle. Les solutions homogènes sont les multiples constants C y0. La méthode cherche alors une solution de l’équation complète sous la forme y = u(x)y0(x), où la fonction inconnue u remplace la constante C. Comme y0′ + p y0 = 0, la substitution donne . Une intégration détermine u.
La solution générale s’écrit alors comme la somme d’une solution particulière et de C y0. Une écriture équivalente est . Le choix d’une primitive modifie seulement la valeur de C. Pour une équation linéaire d’ordre supérieur, sous des hypothèses de régularité adaptées sur les coefficients, la méthode fait varier plusieurs constantes associées à une base de solutions de l’équation homogène.
Le principe
Sur un intervalle où l’équation est sous la forme y′ + p(x)y = q(x), choisissez une solution homogène y0 qui ne s’annule pas. Remplacez la constante de C y0 par une fonction u et posez y = u y0.
Dérivez le produit, substituez-le dans l’équation, puis utilisez y0′ + p y0 = 0. Il reste . Intégrez cette relation et multipliez par y0. Le calcul s’arrête lorsque la solution contient une constante arbitraire et vérifie l’équation complète.
Quand l'utiliser
La méthode s’applique sur un intervalle où l’équation est linéaire en y et y′. Si elle est donnée sous la forme a(x)y′ + b(x)y = c(x), le coefficient a doit y rester non nul afin de diviser par a. On suppose ici que p = b/a et q = c/a sont continues sur cet intervalle : elles admettent alors les primitives requises et le problème normalisé possède les solutions considérées. Enfin, on choisit une solution homogène y0 sans zéro sur l’intervalle de travail.
Une équation comme y′ = y2 + ex n’est pas linéaire, car y apparaît au carré : la simplification des termes homogènes ne se produit pas. Il faut alors employer une méthode adaptée aux équations non linéaires. Si a s’annule en un point, on traite séparément les intervalles situés de part et d’autre. Un raccord au point d’annulation n’est possible que si les solutions obtenues et l’équation initiale y sont compatibles ; il doit être examiné à part.
Un exemple, pas à pas
Résolvons l’équation y′ − y = ex. Les données sont : le coefficient de y′ vaut 1, celui de y vaut −1 et le second membre vaut ex. Le calcul suit la transformation de la constante jusqu’à la solution générale.
1. Sans second membre, y′ − y = 0 admet y0(x) = ex. Sa famille de solutions est yh(x) = C ex.
2. Remplaçons C par une fonction u : y(x) = u(x)ex. La dérivée du produit est y′(x) = u′(x)ex + u(x)ex.
3. En substituant, les termes en u s’annulent : . Comme ex ne s’annule pas, u′(x) = 1, donc u(x) = x + C.
4. La solution générale est . Pour contrôler, on calcule y′(x) = (x + C + 1)ex ; ainsi y′ − y = ex, exactement le second membre annoncé.
En pratique
Dans un exercice, commencez par vérifier que l’équation peut s’écrire a(x)y′ + b(x)y = c(x), avec des coefficients qui peuvent être des fonctions quelconques de x, suffisamment régulières : y et y′ doivent apparaître uniquement à la première puissance, sans produit entre eux ni fonction non linéaire. Si l’équation peut se séparer en une relation entre y et x, la séparation des variables peut être plus directe ; sinon, la variation de la constante exploite la solution homogène.
Lorsque le second membre ressemble à une solution homogène, un essai trop rigide peut échouer. Dans y′ − y = ex, chercher seulement un multiple constant de ex redonne zéro à gauche. Faire varier ce multiple produit le facteur x attendu.
Après l’intégration, gardez la constante arbitraire et substituez la solution finale dans l’équation initiale. Ce contrôle détecte immédiatement un signe perdu ou l’oubli d’un terme dans la dérivée du produit. La méthode du facteur intégrant offre une écriture équivalente lorsque ce facteur est plus commode à manipuler.
À ne pas confondre
La séparation des variables. Elle exige de pouvoir regrouper les termes dépendant de y d’un côté et ceux dépendant de x de l’autre. La variation de la constante exige plutôt une équation linéaire et une solution homogène connue. L’équation y′ − y = ex illustre ce second critère.
Les multiplicateurs de Lagrange. Ils interviennent dans un problème d’optimisation sous contrainte, avec une fonction à rendre maximale ou minimale. Ici, aucune optimisation n’est cherchée : on transforme une constante d’intégration en fonction pour résoudre une équation différentielle. Le nom « méthode de Lagrange » peut donc être ambigu sans contexte.
Limites et pièges
Le coefficient de y′ s’annule. Si a(x0) = 0, la division par a est impossible au point x0. Le symptôme est un coefficient p ou q non défini. Il faut travailler sur des intervalles où a garde une valeur non nulle, puis étudier séparément un éventuel raccord.
La dérivée du produit est incomplète. Pour y = u y0, écrire seulement y′ = u′y0 fait perdre le terme u y0′. La simplification devient alors artificielle. Il faut toujours écrire les deux termes avant d’utiliser l’équation homogène.
La constante disparaît. Choisir une primitive particulière pour u fournit seulement une solution particulière. Si aucune constante arbitraire ne subsiste dans la réponse finale, ajoutez la solution homogène C y0 pour retrouver toutes les solutions.
L’ordre supérieur demande une généralisation. La méthode s’étend aux équations différentielles linéaires d’ordre supérieur, mais remplacer mécaniquement une seule constante ne suffit pas en général. Il faut faire varier les constantes associées à une famille de solutions homogènes adaptée à l’ordre de l’équation.
Pour aller plus loin
Ma première équation différentielle présente le cadre général et aide à reconnaître ce que signifie résoudre une équation portant sur une fonction inconnue.
La fiche fonction exponentielle précise les propriétés de la fonction qui apparaît dans la solution homogène et dans l’exemple calculé.
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