AlgèbreNotion · Glossaire
Hétérogène
Un système ou un ensemble est dit hétérogène lorsque ses éléments diffèrent par leur nature, leur type ou certaines propriétés. Pour une équation différentielle linéaire, « hétérogène » (ou « non homogène ») signifie que le terme source est non nul ; si une solution particulière existe, toute solution est la somme de cette solution particulière et d'une solution de l'équation homogène associée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le critère qui rend un ensemble ou un système hétérogène.
- Reconnaître une équation différentielle linéaire non homogène à son terme source non nul.
- Décomposer et vérifier la solution de l'équation y′ − y = 1.
- Distinguer non-homogénéité et non-linéarité.
En clair
Imaginez une boîte contenant des triangles rouges, des disques jaunes et des carrés noirs. Son contenu est hétérogène parce que les objets n'ont pas tous la même forme ni la même couleur. Le mot signale donc une diversité de natures ou de propriétés, selon le critère observé.
Dans une équation différentielle linéaire, cette diversité prend une forme précise : une source extérieure apparaît au second membre. Pour résoudre l'équation, on cherche l'effet propre de cette source, puis on lui ajoute toutes les solutions possibles lorsque la source est absente.
Définition
Un ensemble ou un système est qualifié d'hétérogène lorsque ses éléments diffèrent par leur nature, leur type ou certaines propriétés. Le qualificatif dépend toujours du critère choisi : une collection peut être homogène pour une propriété et hétérogène pour une autre. En statistiques, il décrit ainsi une population composée de groupes ou d'observations aux caractéristiques différentes.
Pour une équation différentielle linéaire, « hétérogène » est synonyme de non homogène. Si la lettre L désigne un opérateur différentiel linéaire appliqué à une fonction inconnue y, et si f est une fonction donnée, l'équation s'écrit . Elle est non homogène lorsque f n'est pas la fonction nulle. L'équation homogène associée s'obtient en remplaçant le second membre par zéro : .
Dès qu'une solution particulière yp de l'équation non homogène existe, toute solution s'écrit comme la somme de yp et d'une solution yh de l'équation homogène associée. Réciproquement, cette somme est bien une solution grâce à la linéarité. La solution particulière n'est généralement pas unique, mais toutes les solutions particulières conduisent au même ensemble de solutions générales.
Un exemple, pas à pas
On cherche les fonctions y qui vérifient l'équation , avec la condition initiale y(0) = 1. Les données sont le coefficient −1 devant y, le terme source constant 1 et la valeur initiale 1.
1. On annule le terme source. L'équation homogène associée et ses solutions sont :
La lettre C représente une constante réelle.
2. On essaie une solution particulière constante. La fonction yp(x) = −1 convient, car sa dérivée vaut 0 et 0 − (−1) = 1.
3. On additionne les deux contributions, puis on utilise la condition initiale :
La solution cherchée est donc y(x) = 2ex − 1.
4. Le contrôle se refait directement : y′(x) = 2ex, donc y′(x) − y(x) = 1, et y(0) = 2 − 1 = 1. L'équation et la condition initiale sont toutes deux satisfaites.
En pratique
Dans une équation différentielle linéaire, examinez d'abord le second membre. S'il n'est pas nul, séparez le problème en une équation homogène et la recherche d'une solution particulière. Si le second membre est nul, cette seconde recherche est inutile.
Pour vérifier une solution proposée, remplacez la fonction et ses dérivées dans l'équation initiale. Le calcul doit restituer exactement le terme source. Une condition initiale ou une condition au bord sert ensuite à déterminer les constantes restantes.
Devant un ensemble qualifié d'hétérogène, cherchez le critère de comparaison : nature, type ou propriété. Sans critère explicite, le mot donne une alerte utile, mais pas encore une description mathématique complète des différences observées.
À ne pas confondre
Équation non homogène et équation non linéaire. Une équation peut être linéaire tout en ayant un second membre non nul. Par exemple, est linéaire et non homogène, tandis que l'apparition de y2 rendrait l'équation non linéaire.
Équation homogène et fonction homogène. Une équation différentielle linéaire homogène a un second membre nul. Une fonction homogène, elle, obéit à une règle de changement d'échelle ; ce critère ne porte pas sur le second membre d'une équation différentielle.
Limites et pièges
Terme source nul. Lorsque le second membre est exactement la fonction nulle, l'équation n'est plus non homogène : elle est homogène. Il faut alors résoudre directement l'équation associée, sans chercher une contribution particulière distincte.
Solution particulière non unique. Dans l'exemple, −1 est une solution particulière, mais 2ex − 1 en est une autre. Leur différence, 2ex, résout l'équation homogène. Il ne faut donc pas confondre « une solution particulière » avec « l'unique solution ».
Superposition hors du cadre linéaire. La décomposition en solution particulière plus solution homogène repose sur la linéarité de l'opérateur. Si l'inconnue intervient de façon non linéaire, cette addition n'est pas justifiée ; il faut employer une méthode adaptée à l'équation considérée.
Critère d'hétérogénéité implicite. Dire qu'un ensemble est hétérogène sans préciser la propriété examinée peut être ambigu. Deux objets différents par leur couleur peuvent rester identiques par leur forme ; il faut annoncer le critère qui produit la distinction.
Pour aller plus loin
L'article Ma première équation différentielle prolonge cette fiche par une entrée guidée dans la résolution d'une équation différentielle.
La décomposition des solutions révèle une structure générale : lorsqu'une équation linéaire admet une solution particulière, toutes ses autres solutions s'en déduisent en ajoutant les solutions du problème sans source.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres