équation de Mathieu

Imaginez une balançoire dont le point d’attache monte et descend régulièrement. Même sans poussée directe, ce changement de rythme peut amplifier ou calmer le mouvement. L’équation de Mathieu décrit ce type d’oscillation : la règle qui rappelle le système vers sa position d’équilibre varie périodiquement.

Selon deux paramètres, une petite oscillation peut rester contenue ou devenir instable. Les fonctions de Mathieu sont les mouvements qui satisfont cette équation. Elles servent notamment à étudier un pendule paramétrique, une membrane elliptique ou certaines structures photoniques.

Une équation de Mathieu est une équation différentielle linéaire ordinaire du second ordre. La variable indépendante est notée z, la fonction inconnue y dépend de z, et les paramètres réels sont notés a et b. Sa forme retenue ici est : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(z)+(a+b\cos (2z))y(z)=0y\text{'}\text{'}(z)+(a+b\backslash cos(2z))y(z)=0$. Les solutions sont appelées fonctions de Mathieu.

Le coefficient a + b·cos(2z) est périodique de période π. Le paramètre a fixe son niveau moyen, tandis que b règle l’amplitude de sa variation. Deux conditions initiales, par exemple la valeur de y et celle de sa dérivée en un même point, sélectionnent une solution unique parmi toutes les solutions.

Avec la nouvelle variable t = cos(z) et une fonction Y telle que y(z) = Y(t), la règle de dérivation conduit à : $(1-t^2)Y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)-t{Y}^{\mathrm{\prime }}(t)+(a-b+2b{t}^2)Y(t)=0(1-t^2)Y\text{'}\text{'}(t)-tY\text{'}(t)+(a-b+2bt^2)Y(t)=0$. Cette écriture est singulière pour t = −1 et t = 1. Introduites lors de l’étude des vibrations d’une membrane elliptique, les équations de Mathieu apparaissent aussi dans les perturbations du mouvement de la Lune, le pendule paramétrique et les cristaux photoniques.

L’équation réunit cinq éléments nécessaires. La variable z repère l’évolution. La fonction y est la quantité recherchée, et sa dérivée seconde y″ traduit sa courbure. Le paramètre a donne la valeur moyenne du coefficient qui multiplie y. Le paramètre |b| donne l’amplitude de sa modulation ; changer le signe de b la décale d’une demi-période, tandis que cos(2z) impose une période π.

Le produit b·cos(2z) fait donc varier le coefficient autour de a ; si b change, la modulation change sans modifier sa période. Ensemble, l’équation et deux conditions initiales suffisent à déterminer une solution. Le tracé suivant rend visible le coefficient de l’exemple a = 1 et b = 2 : il oscille exactement entre −1 et 3.

Prenons l’équation avec a = 1 et b = 2. Cherchons la solution qui part de y(0) = 1 avec une pente initiale y′(0) = 0. Pour obtenir son comportement près de z = 0, écrivons une approximation polynomiale paire : $y(z)=1+c_2{z}^2+c_4{z}^4+O(z^6)y(z)=1+c\_2z^2+c\_4z^4+O(z^6)$.

1. Au point z = 0, cos(0) = 1. L’équation donne donc y″(0) = −(1 + 2)·1 = −3, d’où c₂ = −3/2.

2. En utilisant cos(2z) = 1 − 2z² + (2/3)z⁴ + O(z⁶), le coefficient de z² dans l’équation vaut 12c₄ + 3c₂ − 4. Son annulation donne c₄ = 17/24.

3. Près de l’origine, la solution est donc $y(z)=1-\frac{3}{2}{z}^2+\frac{17}{24}{z}^4+O(z^6)y(z)=1-\backslash frac\{3\}\{2\}z^2+\backslash frac\{17\}\{24\}z^4+O(z^6)$. Le contrôle consiste à remplacer cette expression dans l’équation : les termes constants et ceux en z² s’annulent, et le résidu commence à l’ordre z⁴.

Pour un pendule paramétrique, on emploie l’équation de Mathieu lorsque la variation périodique porte sur un paramètre du système. Si une force extérieure s’ajoute directement au mouvement, il faut ajouter un terme de forçage ; celui-ci peut coexister avec la modulation paramétrique.

Dans l’étude d’une membrane elliptique, la séparation des variables fait apparaître des équations de Mathieu. Le geste utile consiste alors à choisir les solutions compatibles avec les conditions imposées au bord de la membrane.

Pour les perturbations du mouvement de la Lune ou pour certains cristaux photoniques, le signal décisif est encore un coefficient qui varie périodiquement. Si ce coefficient est constant, l’équation harmonique usuelle suffit et le formalisme de Mathieu devient inutile.

Une équation de Mathieu n’est pas un oscillateur harmonique à coefficient constant. Le critère est la présence du terme b·cos(2z) : avec b ≠ 0, le coefficient varie ; avec b = 0, on retrouve l’équation harmonique y″ + ay = 0.

Une excitation additive ordinaire est d’une autre nature. Dans l’équation de Mathieu, la variation périodique multiplie la fonction inconnue y ; dans une équation forcée, un terme périodique apparaît dans le membre de droite. Ce test de position distingue les deux types d’excitation, mais un même modèle peut combiner coefficient périodique et forçage additif.

Le cas charnière b = 0 supprime toute modulation : l’équation devient y″ + ay = 0. Il faut alors employer les solutions de l’équation à coefficient constant plutôt que chercher des propriétés propres aux fonctions de Mathieu.

Un coefficient périodique ne rend pas automatiquement chaque solution périodique. Le symptôme du piège est de conclure à la périodicité de y à partir de la seule période π du coefficient. Il faut étudier la solution correspondant aux paramètres et aux conditions initiales ; un comportement quasi périodique ou instable peut apparaître.

Le changement t = cos(z) ne fournit pas une coordonnée globale inversible, et le coefficient de Y″ s’annule pour t = −1 et t = 1. Près de ces valeurs, il faut conserver les conditions de régularité et ne pas diviser aveuglément par 1 − t².

La série de Fourier fournit le langage naturel pour décomposer des fonctions périodiques et étudier les fonctions de Mathieu terme à terme. La notion de valeur propre éclaire pourquoi certaines valeurs du paramètre a sélectionnent des solutions périodiques compatibles avec des conditions imposées.