coordonnées paramétriques

Imaginez un point qui tourne autour d'un cylindre tout en montant. Un seul nombre, le temps de parcours noté t, commande simultanément sa position horizontale et sa hauteur. À chaque valeur de t, trois règles donnent les coordonnées x, y et z du point.

Faire varier t revient à déplacer le point le long d'une hélice. Les coordonnées paramétriques décrivent ainsi un objet en indiquant où se trouve le point pour chaque valeur autorisée du ou des paramètres.

Une représentation paramétrique est une application qui associe à chaque liste de paramètres autorisée un point d'un espace. Dans l'espace usuel muni d'un repère cartésien, le point M a trois coordonnées, notées x, y et z. Si les paramètres réels sont notés u, t et v, la représentation prend la forme suivante :

Le domaine précise quelles valeurs des paramètres sont permises. Un paramètre suffit généralement à parcourir une courbe, tandis que deux paramètres décrivent généralement une surface. Trois paramètres peuvent repérer un volume ou définir un changement de coordonnées ; le nombre de paramètres n'est donc pas toujours trois. Les valeurs des paramètres ne sont pas nécessairement les coordonnées cartésiennes obtenues. Une même courbe ou surface peut recevoir plusieurs paramétrages, avec des vitesses, des orientations ou des répétitions différentes. En géométrie différentielle, on ajoute des conditions de dérivabilité et de régularité selon l'objet étudié. En infographie, on échantillonne les paramètres pour calculer les points à afficher.

On veut placer un point sur une hélice. Le paramètre réel t varie de 0 à 2π. Les trois coordonnées sont définies par x = cos(t), y = sin(t) et z = t. Le rayon horizontal vaut donc 1 et la hauteur parcourue vaut 2π.

1. Pour t = 0, on obtient cos(0) = 1, sin(0) = 0 et z = 0. Le point de départ est M(0) = (1, 0, 0).

2. Pour t = π/2, on obtient cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1 et z = π/2. Le point est M(π/2) = (0, 1, π/2).

3. Pour t = 2π, les coordonnées horizontales reviennent à (1, 0), mais la hauteur est 2π. Le point d'arrivée est M(2π) = (1, 0, 2π).

Le tracé calculé montre un tour complet de l'hélice. Le contrôle est refaisable : pour toute valeur de t, x² + y² = cos²(t) + sin²(t) = 1. La projection horizontale reste donc sur le cercle de rayon 1 pendant que z augmente.

Tracer une trajectoire. On choisit des valeurs successives du paramètre, puis on calcule les points correspondants. Cette forme est préférable à une équation cartésienne lorsque l'ordre de parcours ou le mouvement doit rester visible.

Étudier une courbe. On dérive les coordonnées par rapport au paramètre pour obtenir une direction tangente. Si le vecteur dérivé s'annule, le paramétrage exige un examen local avant de conclure sur la courbe.

Construire une surface numérique. Deux paramètres forment une grille ; chaque couple produit un point de l'espace. Une description cartésienne reste souvent plus directe lorsque l'appartenance d'un point se teste par une seule équation simple.

Coordonnées paramétriques et coordonnées cartésiennes. Les paramètres sont les valeurs d'entrée ; les coordonnées cartésiennes sont les valeurs calculées. Dans l'hélice, t est le paramètre et le triplet (cos(t), sin(t), t) donne les coordonnées du point.

Représentation paramétrique et équation cartésienne. La première produit des points à partir de paramètres ; la seconde impose une relation entre leurs coordonnées. Le test est concret : demande-t-on une valeur du paramètre pour construire le point, ou vérifie-t-on directement une égalité en x, y et z ?

Paramètre et variable libre d'un système. Une variable libre sert parfois de paramètre pour écrire les solutions, mais tout paramètre ne vient pas d'un système d'équations. Le temps t de l'hélice est choisi pour ordonner le parcours.

Un point peut être parcouru plusieurs fois. Deux valeurs distinctes du paramètre peuvent donner les mêmes coordonnées. Le symptôme est une répétition du triplet obtenu ; il faut alors distinguer l'objet géométrique du parcours choisi.

Une dérivée nulle est un signal, pas un verdict. Si toutes les dérivées coordonnées s'annulent pour une valeur du paramètre, ce paramétrage n'est pas régulier en ce point. Il faut étudier la courbe localement ou chercher un autre paramétrage avant d'affirmer qu'elle possède une singularité géométrique.

Le domaine fait partie de la définition. Les mêmes formules avec t dans [0, 2π] donnent un tour d'hélice, tandis qu'avec t réel elles en donnent une infinité. Il faut toujours conserver l'intervalle ou l'ensemble de paramètres annoncé.

Trois coordonnées n'imposent pas trois paramètres. Une courbe de l'espace possède trois coordonnées cartésiennes mais peut dépendre d'un seul paramètre. Il faut compter les degrés de liberté décrits, et non les coordonnées du repère.

Cartésiennes (coordonnées) présente le repérage auquel les fonctions paramétriques associent leurs valeurs x, y et z.

coordonnées polaires montre un autre choix de coordonnées, fondé sur une distance et un angle plutôt que sur un parcours paramétré.