AnalyseNotion · Glossaire
Point régulier
Un point régulier d'une courbe ou d'une surface paramétrée est un point en lequel la dérivée de la paramétrisation est non nulle (pour une courbe) ou les dérivées partielles sont linéairement indépendantes (pour une surface). En un point régulier, la courbe admet une tangente bien définie ou la surface admet un plan tangent bien défini. Les points non réguliers sont les points singuliers, en lesquels la géométrie peut être plus complexe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un point régulier d'une courbe par une dérivée non nulle.
- Tester une surface en vérifiant l'indépendance de ses deux dérivées partielles.
- Construire la tangente de la parabole paramétrée au point (1, 1).
- Distinguer une singularité géométrique d'un arrêt dû au choix du paramètre.
En clair
Imaginez un point qui avance sur une courbe tandis qu'un nombre, le paramètre, varie. À un instant donné, son mouvement indique une direction nette : cette direction donne la tangente. Le point est régulier lorsque ce mouvement ne s'annule pas.
Sur une surface, deux mouvements indépendants parcourent les deux directions locales. S'ils ne se rabattent pas sur une même ligne, ils déterminent un plan tangent. La régularité garantit donc que la paramétrisation décrit bien, localement, une courbe ou une surface.
Définition
Une courbe paramétrée associe à chaque valeur du paramètre t un point γ(t). Si γ est dérivable, le point correspondant à t0 est régulier lorsque son vecteur dérivé ne s'annule pas : . Ce vecteur directeur détermine alors la tangente à la courbe paramétrée au point γ(t0).
Une surface paramétrée associe à deux paramètres u et v un point X(u, v). Au couple (u0, v0), la régularité exige que les deux vecteurs dérivés partiels soient linéairement indépendants. Autrement dit, la différentielle est de rang 2. Dans l'espace à trois dimensions, le critère équivalent s'écrit : . Ces deux vecteurs engendrent le plan tangent.
Si le critère échoue, la valeur du paramètre considérée est singulière. Une dérivée nulle peut révéler une pointe ou un croisement, mais elle peut aussi provenir d'un mauvais choix de paramètre. La régularité décrite ici concerne donc la paramétrisation donnée ; l'aspect géométrique de son image demande parfois une autre paramétrisation.
Un exemple, pas à pas
Considérons la courbe γ définie par , où t est un nombre réel. Nous examinons la valeur t = 1, qui donne le point A de coordonnées (1, 1).
1. On dérive les deux coordonnées : .
2. Au paramètre t = 1, le vecteur dérivé vaut γ′(1) = (1, 2). Il n'est pas nul : A est donc un point régulier de cette courbe paramétrée.
3. La tangente passe par A et possède le vecteur directeur (1, 2). Son équation est , soit y = 2x − 1.
Le contrôle se refait en remplaçant x par 1 dans l'équation de la tangente : on obtient y = 1, les coordonnées de A. De plus, γ′(t) a toujours une première coordonnée égale à 1 ; aucun point de cette paramétrisation n'est singulier.
En pratique
Pour tracer localement une courbe paramétrée, on calcule son vecteur dérivé. S'il est non nul, sa direction donne immédiatement celle de la tangente ; s'il est nul, ce calcul ne suffit plus et il faut mener une étude locale adaptée aux hypothèses disponibles, par exemple au moyen des premiers termes non nuls d'un développement lorsqu'il existe.
Pour une surface paramétrée dans l'espace, on calcule les deux dérivées partielles. Si leur produit vectoriel est non nul, elles fournissent deux directions du plan tangent et leur produit vectoriel en donne un vecteur normal.
Lorsqu'un logiciel affiche une pointe ou un arrêt inattendu, le test de régularité aide à trancher. Une dérivée nulle invite à distinguer une singularité géométrique réelle d'un ralentissement créé par le paramétrage.
À ne pas confondre
Point régulier et point singulier. Le critère porte sur le rang de la paramétrisation : pour une courbe, γ′(t0) est non nul au premier et nul au second. Ainsi, γ(t) = (t, t²) est régulière en t = 0, tandis que la courbe (t², t³) est singulière en t = 0.
Point régulier et point lisse. « Régulier » qualifie ici une paramétrisation et se vérifie par ses dérivées. « Lisse » peut qualifier la classe de dérivabilité d'une application ou l'aspect d'un objet ; une application très dérivable peut néanmoins avoir une dérivée nulle en un point.
Limites et pièges
Dérivée nulle sans singularité de l'image. La paramétrisation γ(t) = (t³, t⁶) a une dérivée nulle en t = 0, mais son image est la parabole y = x². Le symptôme vient du paramètre, qui s'immobilise à cet instant. On peut reprendre la même parabole avec le paramétrage régulier (s, s²).
Deux paramètres qui donnent le même point. Un point géométrique peut être atteint par plusieurs valeurs du paramètre. La régularité se teste séparément pour chacune ; elle n'empêche ni une auto-intersection ni plusieurs directions tangentes au même point de l'image.
Produit vectoriel réservé à l'espace de dimension trois. Pour une surface placée dans un espace de dimension supérieure, on ne doit pas employer ce raccourci. Il faut vérifier directement que les deux dérivées partielles sont indépendantes, donc que la différentielle est de rang 2.
Une seule dérivée non nulle ne suffit pas pour une surface. Si les deux dérivées partielles sont colinéaires, le rang vaut au plus 1. Elles ne déterminent alors aucun plan tangent à deux dimensions par cette paramétrisation.
Pour aller plus loin
Le point singulier décrit le cas où le critère de régularité échoue et où l'étude locale doit être approfondie.
La notion de singularité replace cet échec dans un cadre plus large, au-delà du seul paramétrage d'une courbe ou d'une surface.
Le plan tangent développe l'objet obtenu au voisinage d'un point régulier d'une surface paramétrée.
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