GéométrieNotion · Glossaire
point cuspidal
Dans le cadre des surfaces singulières retenu ici, un point cuspidal est un point où la description différentielle échoue et où l'on ne peut pas définir un plan tangent unique selon la notion de tangence considérée. Pour une courbe, le point cuspidal, ou rebroussement, est un point où les deux branches se rejoignent avec une même demi-tangente géométrique ; les vecteurs vitesse latéraux peuvent toutefois être en sens contraire. Il s'agit d'un défaut de régularité local, et non d'une propriété de toute la figure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le défaut local de plan tangent unique.
- Relier le cas des surfaces au rebroussement des courbes.
- Vérifier le modèle y²=x³ par une paramétrisation.
En clair
Imaginez une courbe qui arrive à un point, s'y retourne, puis repart sur la même demi-droite tangentielle. À cet endroit, le mouvement cesse d'avoir une direction régulière : les deux côtés de la courbe s'alignent sur cette même demi-tangente géométrique ; les vecteurs vitesse peuvent toutefois s'inverser. Ce point est un point cuspidal, ou point de rebroussement.
Sur une surface, l'idée se voit comme un pli, une arête ou une pointe. Autour d'un point régulier, une feuille posée sur la surface suggère un seul plan tangent. Au point cuspidal, cette feuille ne trouve pas de position tangentielle unique.
Définition
Dans le cadre conventionnel retenu ici, un point cuspidal est un point singulier d'une surface où la description différentielle régulière échoue et où l'on ne peut pas définir un plan tangent unique selon la notion de tangence considérée. Un point singulier est ici un point où cette description régulière échoue. Le phénomène peut prendre la forme d'un repli ou d'une arête ; ces formes sont des exemples géométriques, pas une liste exhaustive de modèles.
La notion concerne aussi les courbes. Pour la courbe définie par l'équation , le point d'origine est un point de rebroussement. En la paramétrant par x=t² et y=t³, le paramètre t décrit un côté lorsque t est positif et l'autre lorsque t est négatif. Les deux branches ont alors la même demi-tangente géométrique, portée par la demi-droite x≥0 ; si l'on oriente le paramétrage, les vecteurs vitesse latéraux sont en sens contraire.
Il faut distinguer cette propriété locale de l'apparence globale du dessin. Une surface peut être régulière loin du point cuspidal, et une courbe peut avoir une pointe sans que toute sa trajectoire soit singulière. Le point cuspidal caractérise donc un défaut de régularité au voisinage du point considéré.
Un exemple, pas à pas
Considérons la courbe plane et son paramétrage x=t², y=t³. On observe le point correspondant à t=0, sans supposer connue sa nature.
Les données sont les suivantes : le premier paramètre est t=−2, le second est t=−1, le point étudié est t=0, puis les deux paramètres positifs sont t=1 et t=2.
Pour t=−2, on obtient x=(−2)²=4 et y=(−2)³=−8.
Pour t=−1, on obtient x=(−1)²=1 et y=(−1)³=−1.
Pour t=0, on obtient x=0²=0 et y=0³=0.
Pour t=1, on obtient x=1²=1 et y=1³=1.
Pour t=2, on obtient x=2²=4 et y=2³=8.
Pour t=−1, on obtient x=(−1)²=1 et y=(−1)³=−1.
Pour t=0, on obtient x=0²=0 et y=0³=0.
Pour t=1, on obtient x=1²=1 et y=1³=1.
Pour t=2, on obtient x=2²=4 et y=2³=8.
Les points obtenus se rapprochent de l'origine par deux côtés. Quand t change de signe, x reste positif tandis que y change de signe ; les deux branches se rejoignent donc en (0, 0) et suivent la même demi-droite tangentielle le long de l'axe horizontal. Les vecteurs vitesse latéraux du paramétrage peuvent néanmoins être en sens opposé. Le contrôle est direct : pour chaque point, le carré de y vaut le cube de x, par exemple (−1)²=1³ et 1²=1³.
En pratique
En géométrie différentielle, on examine le voisinage d'un point pour décider si une surface admet un plan tangent unique. Si la description locale perd sa régularité ou produit plusieurs directions tangentes compatibles, le point demande une analyse de singularité plutôt qu'une approximation plane ordinaire.
Pour une courbe donnée par une équation ou un paramétrage, on repère d'abord les points où la dérivée ne fournit pas une direction régulière. On complète alors ce test par l'étude des branches qui arrivent au point, car une dérivée nulle ne suffit pas à elle seule pour conclure.
Un dessin précis aide à voir le rebroussement, mais le calcul garde le dernier mot. Pour comparer deux points proches, on conserve le même repère et la même paramétrisation ; cela évite de confondre une pointe réelle avec un simple changement d'échelle du tracé.
À ne pas confondre
Un point cuspidal ne se confond pas avec un point régulier. Au point régulier, une direction tangentielle et, pour une surface, un plan tangent sont définis de manière unique. Au point cuspidal, cette unicité échoue. Le cas de la courbe y²=x³ à l'origine tranche : les deux branches se rejoignent en rebroussement, alors qu'une courbe régulière possède localement une direction bien déterminée.
Il ne faut pas non plus confondre un point cuspidal avec une auto-intersection ordinaire. Dans une auto-intersection, deux branches peuvent se croiser en un même point avec des directions distinctes. Dans le rebroussement considéré ici, les deux branches ont la même demi-tangente géométrique, portée par la demi-droite x≥0 ; seuls les vecteurs vitesse latéraux du paramétrage peuvent être en sens contraire.
Limites et pièges
Une dérivée nulle n'est pas, à elle seule, la définition d'un point cuspidal. Elle signale seulement que le paramétrage choisi ne donne pas immédiatement une direction. Il faut examiner les branches et leurs directions limites ; sinon, on risque de déclarer singulier un simple défaut de paramétrisation.
La phrase « aucun plan tangent n'existe » doit être maniée avec précision. La propriété de la source concerne l'impossibilité d'en définir un unique au point singulier ; selon le cadre et la notion de tangence retenue, des plans supports ou limites peuvent encore être étudiés. Il faut donc préciser la structure et la convention avant de conclure.
Le rebroussement de la courbe y²=x³ est un cas charnière : les deux branches ont la même demi-tangente géométrique, portée par la demi-droite x≥0. Les vecteurs vitesse latéraux du paramétrage peuvent être opposés, mais cette orientation ne doit pas être confondue avec deux demi-tangentes géométriques de sens opposés ; l'étude des deux côtés de t=0 est nécessaire.
Pour aller plus loin
Le point de rebroussement constitue le prolongement naturel de la notion aux courbes : il permet de passer de l'absence de plan tangent unique sur une surface à l'étude fine des demi-tangentes d'une courbe. Cette comparaison éclaire ce qui est commun aux deux cadres : la perte de régularité locale, et ce qui les distingue : la dimension de l'objet tangent étudié.
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