Demi-tangente

Sur une courbe, choisissez un point A et un second point M. La droite qui les relie est une sécante. Faites glisser M vers A sans lui faire franchir A : si la direction de la sécante se stabilise, sa position limite donne une demi-tangente.

Le côté choisi compte. En approchant A par la droite ou par la gauche, on peut obtenir la même droite limite ou deux directions différentes. Les demi-tangentes permettent ainsi de décrire un coin, une pointe ou un autre point singulier là où une unique tangente ne suffit pas.

Soit A un point d’une courbe et M un point variable de cette courbe. Une demi-tangente en A est une direction limite de la sécante (AM) lorsque M tend vers A en restant sur un côté fixé de la courbe. Son existence demande donc que cette direction ait une limite. Le côté peut être défini par le paramètre d’une courbe paramétrée ou, pour le graphe d’une fonction, par des abscisses supérieures ou inférieures à celle de A.

Pour le graphe d’une fonction f au point d’abscisse a, les pentes des sécantes sont les quotients $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\backslash frac\{f(a+h)-f(a)\}\{h\}$, étudiés séparément lorsque h tend vers 0 par valeurs positives et par valeurs négatives. Une limite réelle fournit une demi-tangente non verticale. Une pente dont la valeur absolue tend vers l’infini indique une direction verticale.

Si les deux côtés donnent la même droite limite, celle-ci définit la tangente au sens usuel. À un point singulier, les deux limites peuvent être distinctes, ne pas exister, ou dépendre de l’orientation retenue. Il faut donc préciser si l’on compare des droites non orientées ou des demi-droites orientées.

Considérons le graphe de la fonction f définie par f(x) = |x| et son point A de coordonnées (0, 0). Pour un réel h non nul, le point mobile M_h a pour coordonnées (h, |h|). Les données sont donc a = 0, f(0) = 0 et h choisi successivement positif puis négatif.

1. Pour h > 0, on a |h| = h. La pente de la sécante AM_h vaut h ÷ h = 1.
2. Lorsque h tend vers 0 par valeurs positives, la pente reste égale à 1 : la demi-tangente droite est portée par la droite y = x.
3. Pour h < 0, on a |h| = −h. La pente vaut alors (−h) ÷ h = −1.
4. Lorsque h tend vers 0 par valeurs négatives, la pente reste égale à −1 : la demi-tangente gauche est portée par la droite y = −x.

Les deux demi-tangentes sont donc distinctes et forment un angle au point A. Le graphe n’a pas de tangente unique en A. Pour contrôler le calcul, prenez h = 0,5 puis h = −0,5 : les points obtenus sont (0,5 ; 0,5) et (−0,5 ; 0,5), et les pentes des deux sécantes valent bien 1 et −1. La figure représente exactement ces deux directions limites.

Pour étudier le graphe d’une fonction près d’une valeur a, on calcule séparément les quotients de variation à droite et à gauche. Si les deux limites donnent la même pente, on retient une tangente unique ; sinon, on conserve les deux demi-tangentes.

Sur une courbe paramétrée, on approche la valeur du paramètre par valeurs supérieures puis inférieures. Ce choix est préférable à une simple lecture du dessin, car un tracé épais peut masquer un angle ou une direction verticale.

Près d’un point singulier, on commence par vérifier l’existence de chaque limite. Si une direction oscille sans se stabiliser, il ne faut pas tracer une demi-tangente sur la seule foi de quelques sécantes visibles.

Une demi-tangente est une limite géométrique obtenue d’un seul côté de la courbe. Une dérivée à droite ou une dérivée à gauche est une limite numérique de quotient de variation. Pour un graphe, une dérivée unilatérale réelle donne la pente de la demi-tangente correspondante ; une direction verticale peut toutefois exister sans dérivée unilatérale réelle.

Une sécante passe par deux points distincts de la courbe. La demi-tangente n’est pas l’une de ces sécantes : elle est leur position limite lorsque le second point rejoint le premier depuis le côté fixé.

Convention d’orientation. Deux textes peuvent appeler « mêmes demi-tangentes » les mêmes droites supports, alors que leurs demi-droites orientées sont opposées. Le symptôme est un désaccord de vocabulaire malgré un dessin identique. Il faut annoncer la convention avant de comparer les deux côtés.

Limite verticale. Si les pentes tendent vers +∞ ou −∞, conclure que la demi-tangente n’existe pas serait trop rapide. La pente réelle n’a pas de limite finie, mais la direction peut tendre vers la verticale ; il faut alors raisonner sur la direction de la sécante.

Direction instable. Une suite de sécantes presque alignées ne prouve aucune limite. Si deux suites de points prises du même côté conduisent à des directions limites différentes, la demi-tangente de ce côté n’existe pas.

Paramétrage et branche. À un point multiple, plusieurs branches peuvent passer par le même point géométrique. Une approche « à gauche » ou « à droite » n’a alors de sens qu’après avoir fixé une branche et son paramètre ; chaque branche doit être étudiée séparément.

La Dérivée à droite formalise le quotient de variation obtenu par valeurs supérieures et permet de calculer la pente d’une demi-tangente de graphe.

La Dérivée à gauche fournit le calcul symétrique par valeurs inférieures et aide à décider si les deux côtés donnent une même tangente.

Le point de rebroussement approfondit une singularité où l’étude séparée des deux branches et des conventions d’orientation devient indispensable.

Le Point singulier replace les demi-tangentes parmi les outils servant à décrire localement une courbe non régulière.