AnalyseNotion · Glossaire
Dérivée à gauche
La dérivée à gauche d'une fonction f en un point a est la limite du rapport (f(a+h) - f(a))/h lorsque h tend vers 0 par valeurs strictement négatives. Elle complète la dérivée à droite pour décrire le comportement local unilatéral de la fonction. Une fonction est dérivable en a si et seulement si les dérivées à gauche et à droite existent et sont égales. Les points où ces deux dérivées existent mais diffèrent sont des points anguleux de la courbe représentative.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter l'arrivée sur un point uniquement par les valeurs inférieures.
- Calculer une dérivée à gauche avec un quotient de différences.
- Comparer les dérivées latérales pour reconnaître un point anguleux.
- Repérer les cas où la dérivée à gauche n'existe pas comme valeur finie.
En clair
Imaginez que l'on suive une courbe jusqu'à un point, uniquement en venant de la gauche. On compare la hauteur du point d'arrivée à celle de points de plus en plus proches, tous situés avant lui. La dérivée à gauche indique alors la pente vers laquelle ces comparaisons se stabilisent.
Elle décrit donc une seule arrivée au point. Si la courbe repart avec une autre pente à droite, les deux côtés forment un angle au lieu d'une tangente unique.
Définition
Soit une fonction f définie au point a et sur des valeurs immédiatement inférieures à a. On note h l'écart, nécessairement négatif, entre a et un point situé à sa gauche. La dérivée à gauche de f en a existe lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie quand h tend vers zéro par valeurs négatives.
La même limite peut se lire en faisant tendre une variable x vers a avec x inférieur à a. Géométriquement, sa valeur est la pente de la demi-tangente gauche, lorsqu'elle existe. Pour que f soit dérivable en a au sens usuel, la dérivée à droite doit aussi exister et avoir la même valeur. Si les deux dérivées latérales sont finies mais différentes, la courbe présente un point anguleux en a.
Un exemple, pas à pas
Considérons une variable réelle x et la fonction f définie par deux expressions, avec le point de raccord a = 0 et un écart h qui approche 0.
1. À gauche de 0, h est négatif. On a donc f(h) = h2 et f(0) = 0.
2. Le taux d'accroissement à gauche vaut . Quand h tend vers 0 par valeurs négatives, ce taux tend vers 0. La dérivée à gauche vaut donc 0.
3. À droite, le même calcul donne . La dérivée à droite vaut 2. Les deux valeurs étant différentes, la courbe a un point anguleux en 0.
4. Pour contrôler le calcul gauche, les choix h = −0,1 puis h = −0,01 donnent les taux −0,1 puis −0,01, qui se rapprochent bien de 0. La courbe rend visible la demi-tangente horizontale à gauche et la pente 2 à droite.
En pratique
Pour étudier une fonction définie par morceaux, on calcule la dérivée à gauche au point de raccord avec l'expression valable avant ce point. Si le résultat diffère de la dérivée à droite, on conclut à un angle et non à une dérivabilité ordinaire.
Sur une courbe, on observe les pentes des sécantes reliant le point étudié à des points placés de plus en plus près sur sa gauche. Une stabilisation vers une valeur finie suggère une demi-tangente gauche ; l'absence de stabilisation impose de revenir au calcul de limite.
À l'extrémité droite d'un intervalle, seule l'arrivée par la gauche peut être disponible. La dérivée à gauche décrit alors le comportement accessible, sans permettre à elle seule d'affirmer que la fonction est dérivable au sens bilatéral.
À ne pas confondre
Limite à gauche de la fonction. Elle porte sur les valeurs de f(x) quand x approche a par valeurs inférieures. La dérivée à gauche porte sur un quotient de différences. Une fonction constante près de a donne la même valeur pour sa limite, mais une dérivée à gauche nulle.
Dérivée à droite. Elle utilise des écarts h strictement positifs. Pour la fonction de l'exemple en 0, la dérivée à gauche vaut 0 tandis que la dérivée à droite vaut 2 : le signe des écarts sélectionne bien une branche différente.
Dérivée partielle. Elle fait varier une seule variable d'une fonction de plusieurs variables, les autres restant fixées. La dérivée à gauche, elle, sélectionne un sens d'approche sur une variable réelle ; le critère distinctif est le côté de l'approche, non le nombre de variables.
Limites et pièges
Le côté gauche doit être disponible. Il faut pouvoir choisir des points du domaine arbitrairement proches de a avec des valeurs inférieures à a. À une extrémité gauche sans domaine de ce côté, la dérivée à gauche n'est pas définie ; on examine plutôt la dérivée à droite.
Une limite infinie n'est pas une dérivée finie. Si le quotient croît sans borne lorsque h tend vers 0 par valeurs négatives, la courbe peut avoir une demi-tangente verticale. Il faut décrire ce comportement séparément au lieu d'attribuer une valeur réelle à la dérivée à gauche.
L'existence d'un seul côté ne suffit pas. Dans l'exemple, le seuil charnière est a = 0 : la dérivée gauche vaut 0 et la dérivée droite vaut 2. Chacune existe, mais leur désaccord interdit de dire que f est dérivable en 0.
Le dessin ne prouve pas la limite. Une courbe affichée à faible échelle peut sembler lisse ou anguleuse à tort. On contrôle le symptôme visuel avec le quotient de différences et sa limite pour des écarts négatifs.
Pour aller plus loin
La limite à gauche précise le mécanisme d'approche unilatérale sur lequel repose le taux d'accroissement.
La demi-tangente donne une lecture géométrique de la pente obtenue lorsqu'un seul côté de la courbe est considéré.
La fonction valeur absolue fournit un cas classique où les deux dérivées latérales existent, mais ne coïncident pas au point anguleux.
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