AnalyseThéorème · Glossaire
Prolongement d'une dérivée (théorème de)
Le théorème de prolongement d'une dérivée affirme que si une fonction f est continue sur un intervalle [a, b], dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, et si la dérivée f' admet une limite finie L en l'un des points a ou b, alors f est dérivable à droite en a ou à gauche en b, selon la borne concernée, et cette dérivée unilatérale vaut L. Ce théorème permet de prolonger la dérivée aux points frontières et est utile pour étudier la régularité des fonctions aux bornes d'un intervalle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses exactes du théorème.
- Distinguer dérivée au bord et dérivée en un point intérieur.
- Vérifier le résultat sur la fonction x puissance trois demis.
- Reconnaître les cas où une limite infinie, un saut ou une oscillation bloque l’application.
En clair
Imaginez la courbe d’une fonction tracée seulement à droite d’un point frontière. À mesure que l’on s’approche de ce bord, ses pentes se stabilisent vers un nombre fini. Si la courbe rejoint aussi sa valeur au bord sans saut, le théorème assure que cette pente limite est bien la pente de la fonction au bord.
Autrement dit, la dérivée ne reste pas forcément cantonnée à l’intérieur de l’intervalle : elle reçoit au bord une valeur cohérente avec les pentes voisines.
Définition
Soient deux nombres réels a et b tels que a < b, et une fonction f continue sur l’intervalle fermé [a, b]. On suppose que f est dérivable en chaque point de l’intervalle ouvert ]a, b[. Le théorème concerne la situation où la fonction dérivée, notée f′, possède une limite finie à l’une des bornes.
À la borne gauche a, si le nombre réel L vérifie , alors f admet en a une dérivée à droite égale à L. À la borne droite b, l’énoncé symétrique utilise la limite à gauche de f′ et donne la dérivée à gauche de f en b. Le mot « dérivable » au bord désigne donc ici une dérivabilité unilatérale.
En donnant à f′ la valeur L au bord concerné, on obtient une dérivée continue en ce bord. La continuité préalable de f sur l’intervalle fermé reste essentielle : une limite de f′ ne fixe pas, à elle seule, la valeur de f au point frontière.
Le principe
Soit une fonction f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si sa dérivée f′ admet à droite de a une limite finie L, alors f est dérivable à droite en a et . Si f′ admet à gauche de b une limite finie L, alors f est dérivable à gauche en b et .
Quand l'utiliser
Le domaine doit être un intervalle fermé [a, b]. La fonction f doit être continue jusqu’à la borne étudiée, puis dérivable entre les deux bornes. Enfin, f′ doit tendre, depuis l’intérieur de l’intervalle, vers un nombre réel fini. Ces trois vérifications donnent une dérivée unilatérale au bord et la continuité en ce bord de la dérivée ainsi prolongée.
Si l’on conserve sur ]0, 1] la fonction f(x)=x3/2 mais que l’on impose f(0)=1, les dérivées intérieures tendent encore vers 0. Pourtant, f n’est pas continue en 0 : le théorème ne s’applique pas. Il faut alors étudier directement le quotient de différence, qui n’a ici aucune limite finie.
Un exemple, pas à pas
On étudie sur [0, 1] la fonction f qui associe à tout nombre x la valeur x3/2. Les données sont l’intervalle fermé [0, 1], la borne 0 et la valeur f(0)=0. La courbe s’aplatit lorsqu’elle rejoint l’origine ; la figure rend ce comportement visible.
1. La fonction f est continue sur [0, 1], car la puissance x3/2 y est continue.
2. Pour tout x strictement positif, sa dérivée vaut . La fonction est donc dérivable sur ]0, 1[.
3. Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, la racine carrée de x tend vers 0. Ainsi, .
4. Le théorème donne donc la dérivée à droite f′+(0)=0.
Le contrôle direct retrouve exactement ce résultat : pour tout nombre h positif, le quotient de différence vaut , et il tend vers 0 lorsque h tend vers 0.
En pratique
Pour prouver la dérivabilité à une borne, on peut calculer la limite de la dérivée à l’intérieur de l’intervalle. Cette voie est souvent plus courte qu’un calcul direct du quotient de différence. Si la limite de f′ est difficile à obtenir, le quotient reste l’alternative décisive.
Pour établir qu’une fonction est de classe C1 sur un intervalle fermé, on vérifie d’abord la continuité de la fonction sur [a, b], puis la continuité de sa dérivée à l’intérieur et sa limite à chaque borne. Le théorème fournit alors les valeurs manquantes aux extrémités.
Si la fonction présente un saut au bord, on commence par corriger ou examiner sa valeur frontière. La seule stabilisation des pentes intérieures ne suffit pas à conclure.
À ne pas confondre
Prolongement de la dérivée et prolongement de la fonction. Prolonger f consiste à choisir une valeur manquante pour rendre f continue. Le théorème étudié part au contraire d’une fonction déjà continue au bord et y établit sa dérivabilité. Une fonction définie seulement sur ]0, 1] relève d’abord du prolongement de f.
Dérivabilité au bord et dérivabilité en un point intérieur. Au bord 0 de [0, 1], seul le quotient venant de la droite est disponible. En un point intérieur, les quotients venant des deux côtés doivent converger vers la même valeur.
Dérivée prolongeable et fonction de classe C1. Une limite finie de f′ à une seule borne ne garantit pas à elle seule la continuité de f′ sur tout l’intervalle. Il faut aussi vérifier cette continuité à chaque point intérieur et, si nécessaire, à l’autre borne.
Limites et pièges
Limite infinie. Pour f(x)=√x sur [0, 1], la dérivée vaut 1/(2√x) lorsque x>0 et tend vers +∞ au voisinage droit de 0. La tangente est verticale, mais il n’existe pas de dérivée réelle finie en 0. Le théorème ne conclut donc pas à la dérivabilité.
Absence de limite de f′. Si les valeurs de la dérivée oscillent sans se stabiliser au bord, l’hypothèse centrale échoue. On revient alors au quotient de différence : il peut parfois converger même lorsque f′ n’a pas de limite.
Mauvais côté. À la borne gauche a, seule la limite de f′ lorsque x tend vers a par valeurs supérieures intervient. Employer une limite bilatérale peut demander des valeurs de f′ hors de l’intervalle, qui ne sont pas définies.
Continuité oubliée. Modifier uniquement la valeur de f au bord peut créer un saut sans changer aucune dérivée intérieure. Avant toute conclusion, il faut comparer la valeur frontière à la limite de f depuis l’intervalle.
Pour aller plus loin
La preuve repose naturellement sur le théorème des accroissements finis, qui relie un quotient de différence à une valeur intermédiaire de la dérivée.
L’article De la dérivée à l'élasticité montre comment une dérivée devient un indicateur de variation relative dans une autre situation.
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