AnalyseThéorème · Glossaire
théorème des accroissements finis
Le théorème des accroissements finis affirme que, si une fonction réelle est continue sur un intervalle fermé [a, b], dérivable à l’intérieur et si a < b, il existe un point intérieur où sa dérivée est égale au taux de variation moyen entre a et b. Géométriquement, la tangente en ce point est parallèle à la corde reliant les extrémités de la courbe. Il relie ainsi une variation globale à une variation instantanée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer les hypothèses de continuité et de dérivabilité avant la conclusion.
- Interpréter le point intermédiaire comme une tangente parallèle à la corde.
- Calculer exactement le point c pour la fonction carré sur [1, 3].
- Distinguer le théorème des accroissements finis du théorème de Rolle et de la formule de Taylor.
- Repérer les échecs liés à une rupture, à un angle ou à un intervalle dégénéré.
En clair
Sur une courbe, reliez deux points par une corde. Sa pente décrit la variation moyenne entre le départ et l’arrivée. Le théorème affirme qu’entre ces deux points, au moins une tangente possède exactement la même pente.
Pour la courbe de la fonction carré entre 1 et 3, la corde monte de 8 quand l’abscisse augmente de 2 : sa pente vaut 4. Au point d’abscisse 2, la tangente a elle aussi une pente égale à 4. Le comportement instantané rejoint donc quelque part le comportement moyen.
Définition
Le théorème des accroissements finis relie la variation totale d’une fonction à l’une de ses variations instantanées. On considère deux réels a et b tels que a < b, puis une fonction f continue sur l’intervalle fermé [a, b] et dérivable en chaque point de l’intervalle ouvert ]a, b[. La continuité interdit une rupture entre les extrémités ; la dérivabilité fournit une pente de tangente à l’intérieur.
Sous ces hypothèses, il existe au moins un réel c strictement compris entre a et b pour lequel la dérivée f′(c) est égale au taux de variation moyen de f entre a et b : . De façon équivalente, . Le résultat garantit l’existence de c, mais pas son unicité ni une méthode générale pour le calculer.
Géométriquement, la tangente au point d’abscisse c est parallèle à la corde joignant les points de la courbe d’abscisses a et b. Lorsque f(a) = f(b), la corde est horizontale et l’égalité impose f′(c) = 0 : on retrouve le théorème de Rolle.
Le principe
Soient deux réels a et b avec a < b. Si une fonction f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe au moins un réel c dans ]a, b[ tel que :
Le quotient de l’accroissement des valeurs par l’accroissement des abscisses est donc égal à une dérivée prise en un point intérieur. L’existence est certaine ; le point c peut ne pas être unique.
Quand l'utiliser
Le domaine est un véritable intervalle fermé [a, b], avec a < b. Deux contrôles sont nécessaires : la fonction doit être continue en tout point de [a, b], extrémités comprises, et dérivable en tout point strictement intérieur. Aucune dérivée n’est exigée aux extrémités. Ces conditions donnent au moins une abscisse intérieure c où la pente instantanée égale la pente moyenne.
Une rupture bloque la conclusion. Sur [0, 1], prenez f(x) = x pour x < 1 et f(1) = 2. La fonction est dérivable sur ]0, 1[, avec f′(x) = 1, mais elle n’est pas continue en 1. La pente moyenne vaut 2 : aucune dérivée intérieure ne lui est égale. Il faut alors étudier la fonction par morceaux, sans invoquer ce théorème sur tout [0, 1].
Un exemple, pas à pas
Données. On considère la fonction f définie par f(x) = x2 sur [1, 3]. Elle est continue sur cet intervalle et dérivable sur ]1, 3[. Ses valeurs aux extrémités sont f(1) = 1 et f(3) = 9.
1. La pente de la corde reliant les deux extrémités est .
2. La dérivée de la fonction carré est f′(x) = 2x. Le point recherché doit donc vérifier f′(c) = 4, soit 2c = 4.
3. On obtient c = 2. Ce nombre appartient bien à ]1, 3[, comme l’exige le théorème.
4. La tangente au point (2, 4) a pour pente f′(2) = 4. Elle est donc parallèle à la corde joignant (1, 1) à (3, 9), dont la pente vaut également 4. La figure rend cette égalité de pentes visible sans remplacer le calcul.
Contrôle. L’égalité annoncée donne f(3) − f(1) = 8 et f′(2)(3 − 1) = 4 × 2 = 8. Les deux membres coïncident exactement.
En pratique
Pour prouver qu’une dérivée prend une valeur donnée, on calcule d’abord un taux de variation entre deux points. Si les hypothèses sont vérifiées, le théorème fournit l’existence d’un point intérieur où cette valeur est atteinte. Si le point doit être localisé, il faut ensuite résoudre l’équation portant sur la dérivée.
Pour encadrer une variation, on cherche une borne de la valeur absolue de la dérivée sur l’intervalle. Le théorème conduit alors à l’inégalité lorsque |f′(x)| ≤ M à l’intérieur. Si la fonction n’est pas dérivable partout, un découpage en intervalles réguliers peut être nécessaire.
Pour établir qu’une fonction dont la dérivée est nulle est constante sur un intervalle, on applique le théorème à deux points quelconques. Si l’ensemble étudié n’est pas un intervalle, cette conclusion doit être vérifiée séparément sur chaque composante connexe qui forme un intervalle.
À ne pas confondre
Avec le théorème de Rolle. Rolle exige f(a) = f(b) et conclut qu’une dérivée intérieure est nulle. Le théorème des accroissements finis autorise des valeurs terminales différentes et fait égaler une dérivée à la pente de la corde. Pour f(x) = x2 sur [1, 3], Rolle ne s’applique pas, tandis que le TAF donne c = 2.
Avec la formule de Taylor. Le TAF affirme l’existence d’un point c pour une égalité portant sur le premier accroissement, sans fournir un développement autour d’un point. Une formule de Taylor demande davantage de dérivées et décrit un polynôme accompagné d’un reste. Pour obtenir seulement une pente intermédiaire, le TAF suffit.
Limites et pièges
Continuité aux extrémités. Être dérivable seulement à l’intérieur ne compense pas un saut au bord. Pour f(x) = x si x < 1 et f(1) = 2 sur [0, 1], la pente moyenne vaut 2, tandis que toutes les dérivées intérieures valent 1. Il faut traiter la rupture séparément.
Dérivabilité à chaque point intérieur. La fonction valeur absolue sur [−1, 1] est continue et ses valeurs terminales sont égales. Pourtant, elle n’est pas dérivable en 0 et sa dérivée vaut −1 à gauche, 1 à droite : aucun point dérivable ne donne la pente moyenne nulle. Le théorème de Rolle, donc le TAF, est inapplicable.
Existence sans unicité. Pour f(x) = x3 sur [−1, 1], la pente moyenne vaut 1. L’équation f′(c) = 1 devient 3c2 = 1 et possède deux solutions intérieures, c = −1/√3 et c = 1/√3. Il ne faut donc pas parler du point c comme s’il était toujours unique.
Intervalle non dégénéré. L’hypothèse a < b est indispensable à la lecture par pente moyenne, car le quotient contient b − a au dénominateur. Si a = b, l’intervalle ouvert est vide et aucun point intérieur c ne peut être garanti. Il faut choisir deux extrémités distinctes.
Pour aller plus loin
Rolle : des théorèmes en cascade ! — Replace le cas de la corde horizontale dans une famille de résultats d’analyse.
Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse — Montre comment une dérivée nulle intervient dans un raisonnement sur les solutions.
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