Dérivée à droite

Sur le graphe d'une fonction, placez-vous en un point et ne regardez que les points situés un peu plus à droite. La pente de la droite qui relie le point de départ à l'un de ces points mesure une variation moyenne.

À mesure que le second point se rapproche par la droite, cette pente peut se stabiliser. La valeur obtenue est la dérivée à droite. Elle décrit donc la pente immédiatement après le point, même si la courbe forme un angle et possède une autre pente du côté gauche.

Soit une fonction réelle f définie au point a et sur un intervalle situé immédiatement à sa droite. Pour un déplacement positif h, le quotient de différence compare la variation f(a + h) − f(a) au déplacement h. La dérivée à droite de f en a existe lorsque ce quotient admet une limite finie quand h tend vers 0 en restant strictement positif. Elle est alors notée $f_{+}^{\mathrm{\prime }}(a)f\text{'}\_+(a)$ et vérifie :

Cette limite est unilatérale : seules les valeurs a + h supérieures à a interviennent. Graphiquement, une valeur finie donne la pente de la demi-tangente issue du point d'abscisse a vers la droite. La dérivabilité ordinaire en a exige aussi l'existence de la dérivée à gauche et l'égalité des deux valeurs. Sur l'intérieur d'un intervalle où une fonction convexe est réelle, les deux dérivées latérales existent, mais elles peuvent être différentes en un point anguleux.

La construction réunit cinq éléments. Le point a fixe l'endroit étudié. Le déplacement h, toujours positif, choisit un point a + h à droite. La variation f(a + h) − f(a) mesure le changement des valeurs de la fonction. Le quotient de différence divise cette variation par h : c'est la pente d'une sécante. Enfin, la limite de ces pentes quand h approche 0 fournit la dérivée à droite.

Le signe imposé à h détermine le côté observé ; il ne change ni le point a ni la fonction. La demi-tangente est l'interprétation géométrique du résultat, pas une donnée supplémentaire. Ces éléments suffisent à calculer la dérivée latérale et, si elle est finie, à tracer une demi-tangente de cette pente.

On étudie la fonction f qui, au réel x, associe |x| + x², au point a = 0. Les données sont f(0) = 0 et un déplacement h strictement positif. Les valeurs h = 1, h = 0,5 et h = 0,25 serviront de contrôles numériques.

1. Comme h est positif, |h| = h. Le quotient de différence se simplifie : $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h+h^2}{h}=1+h\backslash frac\{f(h)-f(0)\}\{h\}=\backslash frac\{h+h^2\}\{h\}=1+h$.

2. Pour h = 1, h = 0,5 et h = 0,25, les pentes des sécantes valent respectivement 2, 1,5 et 1,25. Le dessin fait apparaître le rapprochement de ces sécantes vers une même demi-tangente.

3. Lorsque h tend vers 0 par valeurs positives, 1 + h tend vers 1. Ainsi, $f_{+}^{\mathrm{\prime }}(0)=1f\text{'}\_+(0)=1$. Le contrôle est refaisable : remplacer h par un positif deux fois plus petit rapproche toujours 1 + h de 1. Du côté gauche, le quotient tend vers −1 ; la fonction n'est donc pas dérivable en 0 malgré l'existence de sa dérivée à droite.

À l'extrémité gauche du domaine d'une fonction, aucune valeur voisine n'est parfois disponible à gauche. La dérivée à droite décrit alors le comportement au départ, tandis qu'une dérivée ordinaire au sens bilatéral n'est pas définie.

Sur un graphe présentant un angle, on calcule séparément les pentes obtenues de chaque côté. Si elles diffèrent, comme 1 et −1 pour f(x) = |x| + x² en 0, on conserve les deux dérivées latérales au lieu d'annoncer une dérivée unique.

Pour une fonction convexe réelle sur un intervalle ouvert, les pentes des sécantes à droite se rangent de façon monotone quand le point mobile se rapproche. La dérivée à droite donne une pente d'appui locale, utile même lorsqu'un point anguleux empêche la dérivabilité ordinaire.

La dérivée à gauche utilise des déplacements h strictement négatifs. Le critère est le côté d'approche : pour f(x) = |x| + x² en 0, la dérivée à droite vaut 1, tandis que la dérivée à gauche vaut −1.

La dérivée ordinaire est une limite bilatérale. Elle existe au point considéré seulement si les deux dérivées latérales existent, sont finies et coïncident. L'existence de la seule valeur à droite ne suffit donc pas.

Une limite à droite de la fonction porte sur f(a + h), alors que la dérivée à droite porte sur un quotient de variations. Une fonction peut tendre vers f(a) à droite sans avoir de pente limite finie.

Une limite infinie du quotient ne constitue pas une dérivée à droite finie. Elle signale une demi-tangente verticale dans l'interprétation géométrique étendue ; il faut annoncer cette divergence plutôt que lui attribuer une pente réelle.

L'existence de la dérivée à droite impose que la fonction soit définie en a et pour des points arbitrairement proches à droite. Si le domaine présente un vide immédiat de ce côté, le passage à la limite ne peut pas être effectué.

Au cas charnière où les dérivées latérales coïncident, elles donnent la dérivée ordinaire. Dès qu'elles diffèrent, même si chacune est finie, le point est anguleux et la fonction n'est pas dérivable en ce point.

L'énoncé sur les fonctions convexes se lit à l'intérieur d'un intervalle où la fonction prend des valeurs réelles. À une extrémité du domaine, seul le côté disponible est pertinent ; avec des valeurs étendues, une dérivée latérale peut aussi être infinie.

La demi-tangente prolonge l'interprétation géométrique : elle associe une direction issue du point à la limite d'une famille de sécantes d'un seul côté.