AnalyseNotion · Glossaire
approximation affine
L'approximation affine d'une fonction f en un point a consiste à remplacer localement f par une fonction affine tangente en ce point, c'est-à-dire de la forme x ↦ f(a) + f'(a)(x − a). Cette approximation est valide au voisinage de a lorsque f est dérivable en ce point, et constitue le fondement de la définition du nombre dérivé. Elle correspond géométriquement à remplacer la courbe de f par sa tangente en (a, f(a)), et est à la base de nombreuses méthodes de calcul approché.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l'approximation affine à la tangente et au nombre dérivé.
- Calculer une estimation complète pour la fonction carré près de 2.
- Contrôler l'erreur numérique et reconnaître les situations où la méthode échoue.
En clair
Sur une courbe lisse, un très petit morceau paraît presque droit. Près d'un point choisi, on remplace donc la courbe par sa tangente. La hauteur sur cette droite est souvent bien plus rapide à calculer que la valeur exacte de la fonction.
Pour la fonction carré près de 2, cette droite donne 4,4 en 2,1, tandis que la valeur exacte est 4,41. L'écart est faible parce que 2,1 reste proche de 2 : l'approximation affine est un outil local.
Définition
Soit une fonction notée f et un point de référence noté a. Si f est dérivable en a, son nombre dérivé en ce point, noté f'(a), donne la pente de la tangente. La fonction affine qui approche f au voisinage de a est , où x désigne la valeur voisine à laquelle on veut estimer la fonction.
La dérivabilité affirme plus précisément que l'erreur restante devient négligeable devant l'écart x − a lorsque x se rapproche de a :
Le symbole o(x − a) désigne ce reste. Le quotient de ce reste par x − a tend vers zéro.
Pour f(x) = x2 au point a = 2, la valeur f(2) vaut 4 et la pente f'(2) vaut 4. L'approximation est donc L(x) = 4 + 4(x − 2). La représentation de la parabole et de cette droite montre leur contact au point (2 ; 4), avec la même direction à cet endroit.
Un exemple, pas à pas
On veut estimer le carré de 2,1 sans effectuer directement la multiplication. Données : la fonction est f(x) = x2, le point de référence est a = 2, sa valeur est f(2) = 4 et son nombre dérivé est f'(2) = 4.
1. L'écart au point de référence vaut 2,1 − 2 = 0,1.
2. On multiplie cet écart par la pente : 4 × 0,1 = 0,4.
3. On ajoute la correction à la valeur connue : L(2,1) = 4 + 0,4 = 4,4. Ainsi, 2,12 ≈ 4,4 par approximation affine.
4. Le contrôle direct donne 2,1 × 2,1 = 4,41. L'erreur absolue vaut 4,41 − 4,4 = 0,01. Pour la fonction carré, cette erreur est exactement le carré de l'écart, soit 0,12 = 0,01.
En pratique
Pour estimer mentalement une valeur proche d'une valeur connue, on part de f(a), puis on ajoute la pente multipliée par le petit déplacement. Près de 2, cette démarche remplace le calcul exact de 2,12 par 4 + 4 × 0,1. Si le déplacement n'est pas petit, le calcul exact est préférable.
Dans un calcul numérique, l'approximation affine fournit une estimation rapide lorsque le point demandé est proche du point de référence. Si l'écart grandit ou si une meilleure précision est requise, un développement limité d'ordre supérieur devient préférable.
Pour lire l'effet d'une petite variation, le signe de f'(a) indique d'abord le sens du changement, et sa valeur mesure la variation prévue par unité de déplacement. Si la fonction n'est pas dérivable au point considéré, cette règle à une pente unique ne s'applique pas ; on examine alors séparément les comportements de chaque côté.
À ne pas confondre
Approximation affine et valeur exacte. L'égalité f(a) = L(a) est garantie au point de contact, mais L(x) n'est pas la valeur exacte en tout point voisin. Pour la fonction carré en 2,1, la valeur exacte est 4,41 alors que l'approximation vaut 4,4.
Tangente et sécante. La tangente utilise la pente instantanée f'(a) en un point. Une sécante passe par deux points distincts de la courbe : entre 2 et 2,1 pour la fonction carré, sa pente vaut 4,1, et non 4.
Approximation affine et développement limité. L'approximation affine ne conserve que la valeur et le terme du premier ordre. Un développement limité peut ajouter des termes d'ordres supérieurs pour décrire plus finement l'écart à a.
Limites et pièges
L'approximation est locale. Le symptôme d'un point trop éloigné est une erreur qui n'est plus négligeable. Pour la fonction carré autour de 2, l'erreur vaut 0,01 en 2,1, mais elle vaut 1 en 3 : il faut rapprocher le point de référence ou employer une approximation d'ordre supérieur.
La dérivabilité est indispensable. La fonction valeur absolue possède une pointe en 0 : ses pentes à gauche et à droite diffèrent. Il n'existe donc pas d'approximation affine unique en ce point ; il faut étudier séparément les deux côtés.
Une pente nulle n'annonce pas une fonction constante. Pour f(x) = x2 au point 0, l'approximation affine est la fonction nulle, alors que f(x) est positive dès que x ≠ 0. Le terme du premier ordre ne montre pas ici la variation quadratique.
La formule seule ne donne pas de marge d'erreur universelle. La dérivabilité garantit un reste négligeable devant x − a au voisinage de a, sans fournir automatiquement une borne numérique. Une précision garantie exige des informations supplémentaires sur la fonction.
Pour aller plus loin
Les développements limités prolongent l'approximation affine en ajoutant des termes d'ordres supérieurs et en affinant l'étude du reste.
L'article Déviation d’une courbe par rapport à une tangente étudie plus précisément l'écart entre une courbe et sa tangente.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres