AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Négligeable (fonction)
Une fonction f est dite négligeable devant une autre fonction g (en un point ou à l'infini) si le rapport f/g tend vers 0. Cette notion, notée f = o(g), est distincte de la relation f = O(g) (f est dominée par g) qui ne requiert qu'une majoration par une constante fois g. Les fonctions négligeables jouent un rôle fondamental dans les développements asymptotiques et les développements limités. En particulier, en un point a, une fonction est dérivable si et seulement si son incrément est o(h) à un terme linéaire près.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une fonction négligeable grâce à la limite d'un quotient.
- Vérifier pas à pas que t au carré est négligeable devant t près de zéro.
- Distinguer le petit o du grand O et d'une équivalence asymptotique.
- Relier le petit o aux développements limités et à la dérivabilité.
En clair
Prenons deux quantités qui diminuent ensemble : un nombre positif t et son carré t2. Pour t = 0,1, le carré vaut 0,01 ; pour t = 0,01, il vaut 0,0001. Le carré devient donc petit bien plus vite que le nombre lui-même.
On exprime ce décalage en disant que la fonction qui donne t2 est négligeable devant celle qui donne t, au voisinage de 0. « Négligeable » ne signifie pas identiquement nulle : cela signifie que sa taille relative finit par tendre vers zéro.
Définition
Soient deux fonctions f et g définies au voisinage d'un point a, éventuellement sans être définies en a. Si g ne s'annule pas dans un voisinage ponctué de a, on dit que f est négligeable devant g lorsque le quotient de f par g tend vers 0 quand la variable x tend vers a. Cette relation se note avec le petit o : .
Le critère s'écrit :
La même définition vaut lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. On peut aussi éviter de diviser par g s'il existe une fonction ε qui tend vers 0 et telle que au voisinage considéré. Si g s'y annule, cette existence impose notamment que f s'annule en tout point où g s'annule.
Le petit o compare donc des ordres de grandeur, et non les valeurs isolées des fonctions. Il intervient dans les développements asymptotiques et les développements limités. Pour la dérivabilité en a, une fonction f admet un nombre dérivé L exactement lorsque son accroissement se décompose en une partie linéaire et un reste négligeable : quand h tend vers 0.
De quoi c'est fait
Une relation de négligeabilité réunit quatre éléments. Il faut d'abord une fonction comparée f, puis une fonction de référence g qui fixe l'échelle. Il faut ensuite préciser le lieu de comparaison : un point a, plus l'infini ou moins l'infini. Enfin, une limite mesure la taille relative de f par rapport à g. Les deux fonctions doivent être définies sur un domaine commun au voisinage considéré et, pour former leur quotient, g doit y être non nulle, hors du point limite éventuel.
Le choix de g et celui du lieu sont indissociables : une même fonction peut être négligeable devant g près de 0, mais pas à l'infini. Le quotient dépend aussi de l'ordre de la comparaison ; inverser f et g change généralement le résultat. Ces données et ces conditions permettent de former le quotient, de calculer sa limite et de décider si la notation est justifiée. Le tracé des courbes peut aider à voir le phénomène, mais il ne fait pas partie de la définition.
Un exemple, pas à pas
On compare, lorsque le nombre positif t tend vers 0, la fonction f qui associe t2 à t et la fonction g qui associe t à t. Données de contrôle : t prend successivement les valeurs 0,1, 0,01 et 0,001 ; g(t) reste alors non nul.
1. On forme le quotient des deux fonctions :
2. Pour t = 0,1, le quotient vaut 0,1. Pour t = 0,01, il vaut 0,01. Pour t = 0,001, il vaut 0,001. Chaque division de t par 10 divise aussi la taille relative de f par 10.
3. Comme le quotient est exactement t, il tend vers 0 avec t. On conclut donc que lorsque t tend vers 0. Le graphique de la taille relative montre la même décroissance régulière.
Le contrôle se refait sans approximation : pour tout t non nul, le quotient t2/t est égal à t. Cette identité garantit la limite, des deux côtés de 0, même si les trois valeurs numériques ont été choisies du côté positif.
En pratique
Dans un développement limité, on conserve les termes qui fixent la précision recherchée et l'on regroupe le reste sous une notation en petit o. Si l'on a besoin d'une erreur chiffrée uniforme, une majoration explicite est préférable.
Pour comparer deux expressions près d'un point ou à l'infini, on calcule leur quotient. Si sa limite vaut 0, la première expression disparaît à l'échelle de la seconde ; si la limite est non nulle, il faut chercher un équivalent ou une autre comparaison.
Pour tester une dérivabilité en a, on soustrait la valeur f(a) et la partie linéaire attendue. Si le reste est négligeable devant l'accroissement h, la pente choisie est bien le nombre dérivé ; sinon, cette décomposition ne prouve pas la dérivabilité.
À ne pas confondre
Petit o et grand O. Écrire impose que la taille relative tende vers 0. Écrire demande seulement qu'elle reste bornée par une constante près du lieu étudié. Ainsi, près de 0, t est un grand O de t, mais pas un petit o de t.
Négligeabilité et équivalence. Deux fonctions f et g sont équivalentes lorsque leur quotient tend vers 1, tandis que f est négligeable devant g lorsque ce quotient tend vers 0. Par exemple, près de 0, t + t2 est équivalent à t, alors que t2 est négligeable devant t.
Fonction négligeable et événement de probabilité nulle. Les deux emplois partagent un vocabulaire, pas une définition. Le premier compare deux fonctions par une limite ; le second porte sur la probabilité d'un événement. Un quotient de fonctions ne permet donc pas, à lui seul, de conclure qu'un événement est impossible ou de probabilité nulle.
Limites et pièges
Le dénominateur s'annule. Le critère par quotient exige que g soit non nulle assez près du point, hors du point lui-même. Si ce quotient n'est pas défini sur tout voisinage ponctué utile, on précise le domaine considéré. On peut employer la formulation , avec ε qui tend vers 0, seulement si une telle fonction existe ; il faut notamment que f s'annule aux points où g s'annule.
Le lieu ou le côté manque. La relation dépend de la limite choisie. Par exemple, le comportement quand x tend vers 0 par valeurs positives ne suffit pas toujours à conclure pour une limite des deux côtés. Il faut annoncer le point, l'infini et, si nécessaire, le côté de l'approche.
La notation n'est pas une égalité ordinaire. Le symbole décrit une classe de restes dépendant du contexte. On peut manipuler ces restes avec les règles asymptotiques adaptées, mais on ne remplace pas automatiquement deux occurrences de petit o par une même fonction.
Une valeur petite ne suffit pas. Obtenir un quotient égal à 0,001 pour une valeur de la variable ne démontre aucune limite. Le cas charnière est une tendance vers 0 sur tout le voisinage considéré ; il faut donc calculer ou encadrer le quotient, plutôt que s'appuyer sur quelques essais numériques.
Pour aller plus loin
Petit O approfondit la notation des restes dont la taille relative tend vers zéro.
Grand O présente la domination par une constante et permet de comparer précisément les deux notations.
Développements limités montre où les restes négligeables interviennent dans une approximation polynomiale locale.
Les équivalents, un outil pour le calcul des limites prolonge la comparaison asymptotique lorsque le quotient tend vers 1.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres