nombre infiniment petit

Prenons 0,1, puis 0,01, puis 0,001. Chaque nombre est dix fois plus petit que le précédent, mais aucun n'est le « dernier » avant zéro. En analyse classique, parler d'infiniment petit décrit donc surtout une quantité variable qui se rapproche de zéro.

Le sens change en analyse non standard : on travaille avec des nombres hyperréels, parmi lesquels existent des infinitésimaux. Leur valeur absolue est plus petite que 1, 1/2, 1/3, et même que l'inverse de n'importe quel entier naturel standard non nul.

L'expression « infiniment petit » dépend du cadre mathématique. En analyse classique, ce n'est pas un nombre réel positif plus petit que tous les autres. Elle qualifie une quantité variable qui tend vers zéro. Dire qu'une quantité est négligeable devant une autre signifie plus précisément que leur quotient tend vers zéro, lorsque ce quotient est défini.

Par exemple, lorsque le nombre réel h tend vers zéro sans être nul, son carré h² est négligeable devant h, car le quotient h²/h vaut h et tend vers zéro. La figure compare ces deux quantités sur l'intervalle de 0 à 1.

En analyse non standard, le mot désigne réellement un nombre hyperréel. Un hyperréel ε est infiniment petit si, pour tout entier naturel standard non nul n, . Le nombre zéro satisfait ce critère ; un infinitésimal non nul est donc explicitement qualifié comme tel lorsqu'il faut l'exclure. Historiquement, la théorie des limites rigoureuses développée au XIX^e siècle, notamment par Karl Weierstrass, a rendu les infinitésimaux superflus en analyse classique.

Comparons h et son carré h² quand h prend successivement les valeurs 0,1 ; 0,01 ; 0,001. Les données sont ces trois valeurs positives de h et la règle qui associe à chacune son carré.

1. Pour h = 0,1, on obtient h² = 0,01, puis h²/h = 0,1.
2. Pour h = 0,01, on obtient h² = 0,0001, puis h²/h = 0,01.
3. Pour h = 0,001, on obtient h² = 0,000001, puis h²/h = 0,001.

À chaque étape, le quotient h²/h est égal à h. Il se rapproche donc de zéro en même temps que h : c'est le contrôle qui établit que h² est négligeable devant h. Les trois divisions peuvent être refaites directement à partir des carrés calculés.

Pour étudier une fonction près d'un point, on remplace l'idée vague de « très petit » par une variable h qui tend vers zéro. Cette formulation par une limite est celle de l'analyse classique.

Pour comparer deux erreurs ou deux termes qui s'annulent, on examine leur quotient. Si ce quotient tend vers zéro, le numérateur est négligeable devant le dénominateur ; une simple comparaison de leurs valeurs à un instant donné ne suffit pas.

Si le raisonnement demande de manipuler un nombre non nul plus petit en valeur absolue que l'inverse de tout entier positif standard, il faut annoncer le cadre hyperréel de l'analyse non standard. Sans ce changement de cadre, aucun nombre réel non nul ne possède cette propriété.

Un petit nombre réel, comme 0,001, reste une valeur fixe. Il existe toujours un réel positif encore plus petit ; 0,001 n'est donc pas un infinitésimal non nul au sens hyperréel.

Une limite égale à zéro est un comportement, pas la valeur de chacun des termes. La suite 1/n tend vers zéro quand l'entier n grandit, mais chaque terme 1/n est un réel positif ordinaire.

Le calcul infinitésimal est un domaine plus large, lié notamment aux variations et aux limites. Il ne désigne pas, à lui seul, un nombre infiniment petit ni le critère hyperréel qui définit un infinitésimal.

Dire seulement qu'une quantité « devient petite » ne fixe aucun critère. En analyse classique, il faut préciser la variable, le point ou l'infini vers lequel elle évolue, et la limite considérée.

Le quotient qui exprime la négligeabilité doit être défini près du point étudié. Dans l'exemple h²/h, la simplification vaut pour h non nul ; on étudie ensuite ce quotient lorsque h tend vers zéro, sans effectuer la division en h = 0.

Le seuil 0,001 n'a rien d'universel : il peut être minuscule dans une comparaison et trop grand dans une autre. Le bon test porte sur un comportement limite, ou sur le critère hyperréel faisant intervenir l'inverse de tout entier naturel standard non nul.

Enfin, le critère hyperréel inclut zéro. Quand un calcul exige un élément inversible, il faut demander un infinitésimal non nul ; sinon, l'inverse n'existe pas.

Le glossaire nombre hyperréel présente le système de nombres dans lequel un infinitésimal peut être un nombre à part entière.

La fiche analyse non standard situe le cadre qui réintroduit rigoureusement les infiniment petits dans les raisonnements d'analyse.